Question

Найти первую (dy/dx) и вторую (d^2 y/d^2 x) производные функции, заданной параметрически: (уравнения для x и y в находятся в системе) ​

Answer 1

$\displaystyle \left \{ {{x = 3t^{2} - 6t} \atop {y = 6t - 3t^{3}}} \right.$

$y'_{x} = \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{d(6t - 3t^{3})}{d(3t^{2} - 6t)} = \dfrac{6 - 9t^{2}}{6t - 6} = \dfrac{3(2 - 9t^{2})}{3(2t - 2)} = \dfrac{2 - 9t^{2}}{2t - 2}$

$y''_{xx} = \dfrac{d^{2}y}{d^{2}x} = \dfrac{d(y'_{x})}{dx} = \dfrac{d\left(\dfrac{2 - 9t^{2}}{2t - 2} \right)}{d(3t^{2} - 6t)} = \dfrac{\dfrac{(2 - 9t^{2})'(2t-2) - (2 - 9t^{2})(2t-2)'}{(2t - 2)^{2}} }{6t - 6} =$

$= \dfrac{-18t^{2} + 36t - 4}{(6t - 6)(2t - 2)^{2}} = \dfrac{-9t^{2} + 18t - 2}{(3t - 3)(2t-2)^{2}}$

Answer 2

Чтобы найти первую и вторую производные функции, заданной параметрически, нужно вначале выразить y как функцию от x, используя уравнения системы. Затем можно взять производные от полученной функции.

Допустим, у нас есть система уравнений:

x = f(t) y = g(t)

Чтобы выразить y как функцию от x, нужно решить первое уравнение относительно t и подставить его во второе уравнение:

t = f^(-1)(x) y = g(f^(-1)(x))

Теперь можно найти первую производную dy/dx, применяя правило цепочки:

dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)

А чтобы найти вторую производную d^2y/dx^2, нужно продифференцировать первую производную по x:

d^2y/dx^2 = d/dx(dy/dx)

Пожалуйста, предоставьте конкретные уравнения системы, и я помогу вам найти первую и вторую производные.