Question

Найди катеты прямоугольного треугольника, если они отличаются друг от друга на 6 м, а гипотенуза равна 30 м.

Answer 1

Ответ:

18 м

24 м

Пошаговое объяснение:

Пусть один катет х м

Тогда второй х+6 м

Составим уравнение по теореме Пифагора

Решение на фото

Answer 2

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, где $a$ - меньший катет, $b$ - больший катет. Также известно, что $a$ и $b$ отличаются друг от друга на 6 метров, то есть $b = a + 6$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника:

$a^2 + b^2 = c^2,$

где $c$ - гипотенуза.

Подставляя известные значения, получаем:

$a^2 + (a + 6)^2 = 30^2.$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$a^2 + a^2 + 12a + 36 = 900.$

Соберем все $a^2$ и переместим константы на другую сторону уравнения:

$2a^2 + 12a - 864 = 0.$

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно разделить всё на 2 для упрощения:

$a^2 + 6a - 432 = 0.$

Можно попробовать решить это уравнение факторизацией, но оно не имеет целочисленных корней. Поэтому воспользуемся квадратным уравнением:

$a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$

Для нашего уравнения $a^2 + 6a - 432 = 0$ коэффициенты таковы: $a = 1$, $b = 6$, $c = -432$.

Подставляем в формулу:

$a = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-432)}}{2 \cdot 1}.$

Вычисляем подкоренное выражение:

$a = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 1728}}{2}.$

$a = \frac{-6 \pm \sqrt{1764}}{2}.$

$a = \frac{-6 \pm 42}{2}.$

Получаем два варианта для $a$:

1. $a = \frac{-6 + 42}{2} = \frac{36}{2} = 18$.
2. $a = \frac{-6 - 42}{2} = \frac{-48}{2} = -24$.

Так как длины не могут быть отрицательными, то $a = 18$.

Теперь можем найти $b$:

$b = a + 6 = 18 + 6 = 24.$

Итак, меньший катет $a$ равен 18 м, а больший катет $b$ равен 24 м.