Question

по двум вершинам прямоугольного треугольника А(2;-3),С(-1;2), и уравнению катета AB:3x+y-3=0 составить уравнение гипотенузы AC и катета BC

Answer 1

Даны вершины прямоугольного треугольника А(2; -3),С(-1; 2), и уравнение катета AB: 3x + y - 3 = 0.

Уравнение гипотенузы AC находим по двум заданным точкам А(2; -3), С(-1; 2). Вектор АС = (-1-2; 2-(-3)) = (-3; 5).

Уравнение АС: (x - 2)/(-3) = (y + 3)/5 или в общем виде

5x + 3y - 1 = 0.

В уравнении катета ВС как перпендикуляра к прямой АВ, заданной в общем виде уравнением Ax + By + C = 0, коэффициенты А и В меняются на -В и А. Получаем уравнение ВС: -x + 3y + С = 0.

Для определения слагаемого С подставим координаты точки С(-1; 2).

-1*(-1) + 3*2 + С = 0, отсюда С = -1 - 6 = -7.

Уравнение ВС: -x + 3y - 7 = 0.

Answer 2

Чтобы составить уравнение гипотенузы AC и катета BC прямоугольного треугольника ABC, нам нужно использовать свойства прямоугольных треугольников.

Первым шагом найдем координаты вершины B. Так как точка B лежит на линии, которая перпендикулярна катету AB и проходит через точку C, мы можем найти уравнение этой линии и пересечь его с прямой AB, чтобы найти координаты точки B.

Уравнение катета AB: 3x + y - 3 = 0

Линия, перпендикулярная AB и проходящая через C, будет иметь направляющий вектор (3, 1) (так как угловой коэффициент -1/3) и проходить через точку C(-1, 2). Используем формулу точки-направляющего вектора для уравнения прямой:

y - y₁ = m(x - x₁),

где (x₁, y₁) - точка на линии, m - угловой коэффициент.

Для линии, проходящей через C, уравнение будет:

y - 2 = (1/3)(x + 1).

Раскроем скобки и перенесем все в одну сторону:

y = (1/3)x + 1/3 + 2, y = (1/3)x + 7/3.

Теперь мы можем решить систему уравнений AB и линии, проходящей через C, чтобы найти координаты точки B:

3x + y - 3 = 0, y = (1/3)x + 7/3.

Подставим выражение для y из второго уравнения в первое:

3x + ((1/3)x + 7/3) - 3 = 0, 3x + (1/3)x + 7 - 3 = 0, (10/3)x + 4 = 0, (10/3)x = -4, x = -4 * 3/10, x = -12/10, x = -6/5.

Подставим найденное значение x обратно в уравнение для y:

y = (1/3)(-6/5) + 7/3, y = -2/5 + 7/3, y = (21 - 10) / 15, y = 11/15.

Итак, координаты точки B: B(-6/5, 11/15).

Теперь, когда у нас есть координаты вершины B, мы можем найти уравнение гипотенузы AC, используя формулу точки-направляющего вектора и координаты точек A и C:

Направляющий вектор AC: (x_C - x_A, y_C - y_A) = (-1 - 2, 2 - (-3)) = (-3, 5).

Уравнение гипотенузы AC:

(y - y_A) / (y_C - y_A) = (x - x_A) / (x_C - x_A),

(y + 3) / 5 = (x - 2) / (-3).

Катет BC будет перпендикулярен гипотенузе AC, поэтому угловой коэффициент их произведения должен быть -1:

Угловой коэффициент AC: -3/5, Угловой коэффициент BC: 5/3.

Таким образом, уравнение катета BC можно записать как:

y - y_B = (5/3)(x - x_B),

где (x_B, y_B) - координаты точки B.

Подставляя значения, полученные ранее, получим уравнение катета BC:

y - 11/15 = (5/3)(x + 6/5).