Question

При каком значении а прямая x=2+at, у=1-3t, z=2t перпендикулярно плоскости -2x+6у-4z+7=0

Answer 1

Ответ:17

x=2+at-у=1-3t

z=2t

-2x+6у-4z+7=17

Answer 2

Для того чтобы прямая была перпендикулярна к плоскости, вектор направления прямой должен быть перпендикулярен нормали плоскости. Нормаль к плоскости -2x + 6y - 4z + 7 = 0 имеет координаты (коэффициенты при x, y и z): (-2, 6, -4).

Вектор направления прямой можно получить, вычтя координаты начальной точки прямой из координат конечной точки: (2 + at, 1 - 3t, 2t) - (2, 1, 0) = (at, -3t, 2t).

Для того чтобы вектор направления прямой был перпендикулярен нормали плоскости, их скалярное произведение должно быть равно нулю:

(at, -3t, 2t) * (-2, 6, -4) = -2at - 18t + (-8t) = -2at - 26t.

Теперь приравняем это выражение к нулю и решим уравнение относительно "t":

-2at - 26t = 0, t (-2a - 26) = 0.

Так как t не может быть равно нулю (так как это означало бы, что вектор направления прямой нулевой, что не подходит для определения прямой), мы можем решить уравнение -2a - 26 = 0 относительно "a":

-2a = 26, a = -13.

Итак, значение "a", при котором прямая x = 2 + at, y = 1 - 3t, z = 2t, перпендикулярна плоскости -2x + 6y - 4z + 7 = 0, равно -13.