Question

Найти частные производные первого и второго порядка функции: z=In(y^2x-2x^2y)

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Давайте найдем частные производные функции $z = \ln(y^2x - 2x^2y)$ по переменным $x$ и $y$.

Первая частная производная по $x$: $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{y^2x - 2x^2y} \cdot \frac{\partial}{\partial x} (y^2x - 2x^2y)$ Используем правило дифференцирования произведения и цепного правила: $\frac{\partial}{\partial x} (y^2x - 2x^2y) = y^2 - 4xy$ Теперь можем подставить это обратно в выражение для первой частной производной: $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{y^2x - 2x^2y} \cdot (y^2 - 4xy)$

Вторая частная производная по $x$: $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)$ Дифференцируем первую частную производную по $x$: $\frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{1}{y^2x - 2x^2y} \cdot (y^2 - 4xy)\right) = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{y^2 - 4xy}{y^2x - 2x^2y}\right)$ Используем правило дифференцирования частного и цепного правила: $\frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{y^2 - 4xy}{y^2x - 2x^2y}\right) = \frac{(2y - 4y) \cdot (y^2x - 2x^2y) - (y^2 - 4xy) \cdot (2xy - 2x^2)}{(y^2x - 2x^2y)^2}$ Упрощаем числитель: $\frac{-4y^3x + 8x^2y^2 - 2xy^2 + 8x^2y^2}{(y^2x - 2x^2y)^2}$ $\frac{12x^2y^2 - 2xy^2}{(y^2x - 2x^2y)^2}$ $\frac{2xy^2(6x - 1)}{(y^2x - 2x^2y)^2}$

Таким образом, вторая частная производная по $x$ равна $\frac{2xy^2(6x - 1)}{(y^2x - 2x^2y)^2}$