Question

Помогите пожалуйста решить уравнение : y''+4y=5e^x и y'''-y''-4y'+4y=x^2+3 Очень срочно надо

Answer 1

Ответ:

решение на фотографиях

Answer 2

Давайте решим эти уравнения по отдельности. Сначала рассмотрим уравнение y'' + 4y = 5e^x:

1. Характеристическое уравнение: r^2 + 4 = 0. Решим это уравнение: r^2 = -4 r = ±2i

2. Общее решение однородной части уравнения: y_h(x) = C1cos(2x) + C2sin(2x), где C1 и C2 - произвольные постоянные.

3. Частное решение неоднородной части уравнения. Попробуем частное решение в виде y_p(x) = Ae^x, где A - произвольная постоянная. y_p''(x) + 4y_p(x) = 5e^x: Ae^x + 4Ae^x = 5e^x 5A*e^x = 5e^x A = 1

Итак, частное решение неоднородной части уравнения: y_p(x) = e^x.

Общее решение неоднородного уравнения: y(x) = C1cos(2x) + C2sin(2x) + e^x.

Теперь рассмотрим уравнение y''' - y'' - 4y' + 4y = x^2 + 3:

1. Характеристическое уравнение: r^3 - r^2 - 4r + 4 = 0. Это уравнение не имеет аналитического решения, поэтому мы будем искать частное решение методом вариации постоянных.

2. Предположим, что частное решение имеет вид y_p(x) = Ax^2 + Bx + C, где A, B и C - произвольные постоянные.

3. Вычислим производные: y_p'(x) = 2Ax + B y_p''(x) = 2A y_p'''(x) = 0

4. Подставим y_p(x) в уравнение: 0 - 2A - 4(2Ax + B) + 4(Ax^2 + Bx + C) = x^2 + 3

5. Упростим уравнение: -2A - 8Ax - 4B + 4Ax^2 + 4Bx + 4C = x^2 + 3

6. Сгруппируем по степеням x: (4A - 1)x^2 + (4B + 8A)x + (4C - 3) = x^2 + 3

7. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравнений: 4A - 1 = 1 => 4A = 2 => A = 1/2 4B + 8A = 0 => 4B + 4 = 0 => 4B = -4 => B = -1 4C - 3 = 3 => 4C = 6 => C = 3/2

Итак, частное решение неоднородной части уравнения: y_p(x) = (1/2)x^2 - x + 3/2.

Общее решение неоднородного уравнения будет суммой общего решения однородной части (из первого уравнения) и частного решения: y(x) = C1cos(2x) + C2sin(2x) + e^x + (1/2)x^2 - x + 3/2.

Теперь у вас есть общие решения обоих уравнений. Вы можете использовать начальные условия или граничные условия, если они есть, чтобы найти конкретные значения постоянных C1 и C2.