Question

Допоможіть знайти інтеграл x ln xdx ​

Answer 1

Ответ:

По частям:

$U = ln(x) \: \: \: \: \: dU = \frac{1}{x} dx \\ dV = xdx \: \: \: \: \: V = \frac{ {x}^{2} }{2}$

$\frac{ {x}^{2} }{2} ln(x) - ∫ \frac{ {x}^{2} }{2} \times \frac{1}{x} dx = \frac{ {x}^{2} }{2} ln(x) - \frac{ {x}^{2} }{4} + C$

Answer 2

Щоб знайти інтеграл від $x \ln(x)$ за допомогою інтегрування за частинами, ми використовуємо таку формулу:

$$\int u \, dv = uv - \int v \, du,$$

де $u$ і $dv$ - це дві функції, які обираємо так, щоб обчислення інтегралу $u \, dv$ було спрощенням порівняно з іншим інтегралом.

В нашому випадку ми можемо обрати: $u = \ln(x)$ і $dv = x \, dx$.

Похідна $\ln(x)$ від $x$ дорівнює $\frac{1}{x}$, тобто $du = \frac{1}{x} \, dx$. Інтеграл $x \, dx$ дорівнює $\frac{x^2}{2}$, тобто $v = \frac{x^2}{2}$.

Тепер ми можемо застосувати формулу інтегрування за частинами:

$$\int x \ln(x) \, dx = (\ln(x)) \left(\frac{x^2}{2}\right) - \int \left(\frac{x^2}{2}\right) \left(\frac{1}{x}\right) \, dx$$

Спростимо вираз:

$$\int x \ln(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{1}{2} \int x \, dx$$

Тепер можемо обчислити останній інтеграл:

$$\frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{1}{2} \int x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C,$$

де $C$ - константа інтеграції. Отже, остаточна відповідь:

$$\int x \ln(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} + C,$$

де $C$ - довільна константа.