Question

Знайти похідну функції Найти производную функции y=\frac{1}{2} (arcsin\frac{x-1}{\sqrt{2} }+x)

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$y' = \frac{1}{2} ( \frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{ {(x - 1)}^{2} }{2} } } \times \frac{1}{ \sqrt{2} } + 1) = \frac{1}{2} ( \frac{1}{ \sqrt{2} } \times \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2 - {(x - 1)}^{2} } } + 1) = \frac{1}{2} ( \frac{1}{ \sqrt{2 - {x}^{2} + 2x - 1 } } + 1) = \frac{1}{2} ( \frac{1}{ \sqrt{1 - {x}^{2} + 2x} } + 1) = \frac{1}{2 \sqrt{1 + 2x - {x}^{2} } } + \frac{1}{2}$

Answer 2

Для знаходження похідної функції y відносно змінної x, спочатку розглянемо вираз у дужках як дві окремі функції та використовуємо правило лінійності похідної:

y = \frac{1}{2} (\arcsin\frac{x-1}{\sqrt{2}} + x)

Розділимо цей вираз на дві частини:

y = \frac{1}{2} \arcsin\frac{x-1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} x

Тепер знайдемо похідну кожної окремої частини виразу відносно x.

1. Похідна першої частини:

Для цього використовуємо правило ланцюгового правила для похідної арксинуса:

\frac{d}{dx}(\arcsin u) = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot \frac{du}{dx}

де u = \frac{x-1}{\sqrt{2}}

Отже, ми маємо:

\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2} \arcsin\frac{x-1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x-1}{\sqrt{2}})^2}} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{\sqrt{2}}\right)

Тепер знайдемо похідну \frac{x-1}{\sqrt{2}} відносно x:

\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}

Підставляючи це вираз в попередню похідну, отримуємо:

\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2} \arcsin\frac{x-1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{2\sqrt{1 - (\frac{x-1}{\sqrt{2}})^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2 - (x-1)^2}}

2. Похідна другої частини:

\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2} x\right) = \frac{1}{2}

Тепер об'єднаємо ці дві похідні, так як вони є складовими частинами функції y:

y' = \frac{1}{2\sqrt{2 - (x-1)^2}} + \frac{1}{2}

Отже, производная функции y відносно x дорівнює:

y' = \frac{1}{2\sqrt{2 - (x-1)^2}} + \frac{1}{2}