Question

Тригонометрия, неравенства sin2x+ctgx≤2

Answer 1

cot(s) + 2 sin(x) cos(x)<=2

cos(s)\/sin(s) + sin(2 x)<=2

-1\/2 csc(s) (-cos(s - 2 x) + cos(s + 2 x) - 2 cos(s))<=2

Answer 2

Давайте рассмотрим данное неравенство:

sin(2x) + ctg(x) ≤ 2

Для решения этого неравенства, давайте разберемся с каждым из слагаемых отдельно:

1. sin(2x):

Мы знаем, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x), поэтому:

2sin(x)cos(x) + ctg(x) ≤ 2

2. ctg(x):

ctg(x) - это котангенс, который равен 1/tan(x). Поэтому:

ctg(x) = 1/tan(x)

Теперь мы можем переписать неравенство так:

2sin(x)cos(x) + 1/tan(x) ≤ 2

3. Перепишем tan(x) в виде sin(x)/cos(x):

2sin(x)cos(x) + 1/(sin(x)/cos(x)) ≤ 2

4. Упростим дробь в правой части:

2sin(x)cos(x) + cos(x)/sin(x) ≤ 2

5. Умножим обе стороны на sin(x), чтобы избавиться от дробей:

2sin^2(x)cos(x) + cos(x) ≤ 2sin(x)

6. Теперь мы видим, что у нас есть синус и косинус угла x. Мы можем воспользоваться тригонометрической идентичностью sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

2(1 - cos^2(x))cos(x) + cos(x) ≤ 2sin(x)

7. Теперь заметим, что у нас есть cos(x) во всех слагаемых:

2cos(x) - 2cos^3(x) + cos(x) ≤ 2sin(x)

8. Объединим слагаемые с cos(x):

3cos(x) - 2cos^3(x) ≤ 2sin(x)

9. Теперь, если мы поделим обе стороны на cos(x), получим:

3 - 2cos^2(x) ≤ 2sin(x)/cos(x)

10. Заметим, что sin(x)/cos(x) = tan(x), поэтому:

3 - 2cos^2(x) ≤ 2tan(x)

11. Теперь мы можем переписать это неравенство в виде:

3 - 2cos^2(x) - 2tan(x) ≤ 0

Это неравенство можно решить аналитически, используя методы алгебры и тригонометрии. Возможно, потребуется использовать графику или численные методы для определения интервалов, на которых оно выполняется.