Question

Будет ли плоскость 2 : 2x/1 - x/2 - 3x/3 = 21 параллельна плоскости 2 : 5x/1 + x/2 - x/3 - x/4 = 16

Answer 1

Ответ:

нет

Пошаговое объяснение:

Определяется очень просто: если векторы-нормали у плоскостей параллельны, значит и плоскости параллельны.

Для первой плоскости нормальный вектор является a̅ = (1;2;3), а для второй b̅ = (-2;-4;-6). Если плоскости параллельны или совпадают, то векторное произведение нормальных векторов равно нулю

i j k

1 2 3

-2 -4 -6

i*(-12+12) - j*(-6 + 6) + k*(-4 + 4) = i*0 + j*0 + k*0 = 0

Плоскости параллельны, осталось определить совпадают ли они. Для этого выбираем любую точку на одной плоскости и смотрим принадлежит ли она другой:

1*0 + 2*0 + 3*z + 5 = 0; z = -5/3 => A = (0; 0; -5/3)

-2*0 -4*0 - 6*(-5/3) + 5 = 0; 15 = 0 - выражение не имеет смысла, а значит точка не принадлежит второй плоскости.

Плоскости параллельны, но не совпадают

Answer 2

Для определения, параллельны ли две плоскости, нужно сравнить их нормальные векторы. Нормальный вектор плоскости можно вычислить, зная коэффициенты уравнения плоскости.

Для первой плоскости у нас есть уравнение: 2x/1 - x/2 - 3x/3 = 21

Упростим его: 2x - (x/2) - x = 21

Теперь соберем коэффициенты при x: (2 - 1/2 - 1)x = 21

(3/2)x = 21

Теперь мы видим, что нормальный вектор первой плоскости равен (3/2, 0, 0).

Для второй плоскости у нас есть уравнение: 5x/1 + x/2 - x/3 - x/4 = 16

Упростим его: 5x + (x/2) - (x/3) - (x/4) = 16

Теперь соберем коэффициенты при x: (5 + 1/2 - 1/3 - 1/4)x = 16

(15/6 + 3/6 - 2/6 - 1/6)x = 16

(15/6 - 2/6)x = 16

(13/6)x = 16

Теперь мы видим, что нормальный вектор второй плоскости равен (13/6, 0, 0).

Теперь сравним нормальные векторы двух плоскостей. Если они коллинеарны (пропорциональны друг другу), то плоскости параллельны.

Нормальный вектор первой плоскости: (3/2, 0, 0) Нормальный вектор второй плоскости: (13/6, 0, 0)

Оба вектора имеют только одну ненулевую компоненту (по оси x) и пропорциональны друг другу: (3/2) / (13/6) = (3/2) * (6/13) = 9/13

Поскольку эти векторы пропорциональны, то плоскости параллельны друг другу.