Question

Ученик нарисовал пустую таблицу 50 x 50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причем 50 из них рациональные, а 50 - иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около ее строки и ее столбца (как в таблице умножения). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могло оказаться рациональными числами?

Answer 1

Ответ:

1875

Пошаговое объяснение:

Пусть вдоль левой стороны таблицы выписано x иррациональных и

50 – x рациональных чисел. Тогда вдоль верхней стороны выписаны 50 – x иррациональных и x рациональных чисел. Поскольку сумма рационального и иррационального чисел всегда иррациональна, в таблице стоит хотя бы x² + (50 – x)² = 2(x – 25)² + 2·25² ≥25*25+ 2·25² = 1875 иррациональных чисел. Значит, рациональных чисел не более 2500 – 1875 = 625.

Пример, когда рациональных чисел в таблице ровно 1250. Поставим вдоль левой стороны стоят числа 1, корень (2),3, корень(3) и т.д. а вдоль верхней – числа 25, корень(25), 26, корень(26) и т.д. Тогда иррациональными будут только 625+2·25² = 1875 сумм рационального и иррационального чисел.

Answer 2

Давайте разберемся в этой задаче шаг за шагом.

Ученик создал таблицу 50 x 50, и в каждой клетке он записал произведение чисел, написанных около ее строки и ее столбца. То есть, если число, написанное сверху от столбца, обозначается как a_i, а число, написанное слева от строки, как b_j, то значение в клетке (i, j) равно a_i * b_j.

Для максимизации количества рациональных чисел в таблице, нужно выбрать a_i и b_j таким образом, чтобы их произведение a_i * b_j было рациональным числом. Рациональное число можно представить как отношение двух целых чисел, например, a_i = p_i/q_i и b_j = r_j/s_j, где p_i, q_i, r_j, и s_j - целые числа.

Итак, a_i * b_j = (p_i/q_i) * (r_j/s_j) = (p_i * r_j) / (q_i * s_j).

Мы хотим, чтобы p_i * r_j и q_i * s_j были целыми числами, чтобы произведение a_i * b_j было рациональным числом. Это означает, что p_i * r_j и q_i * s_j также должны быть целыми числами.

Теперь, чтобы максимизировать количество рациональных чисел в таблице, давайте попробуем выбрать a_i и b_j таким образом, чтобы p_i, q_i, r_j и s_j были различными для всех a_i и b_j.

Мы имеем 50 рациональных чисел и 50 иррациональных чисел. Мы можем выбрать 50 рациональных чисел из них, например, 1, 2, 3, ..., 50. Затем, чтобы получить 50 иррациональных чисел, мы можем взять 50 иррациональных чисел, которые не имеют общих множителей с числами 1, 2, 3, ..., 50.

Таким образом, наибольшее количество произведений, которые могут оказаться рациональными числами, равно 50.