Question

Через правий фокус еліпса 5х^2 + 9у^2 – 30х + 18у + 9 = 0 провести пряму перпендикулярну прямій 4х + 2у – 1 = 0.

Answer 1

Дано уравнение эллипса  5x² + 9y² – 30x + 18y + 9 = 0.

Выделим полные квадраты.

(5x²  – 5*6x + 5*9) - 5*9  + (9y² + 9*2y + 9) = 0,

5(x - 3)² + 9(y + 1)² = 45. Разделим обе части на 45.

(x - 3)²/9 + (y + 1)^2/5 = 1 или

(x - 3)²/3² + (y + 1)^2/(√5)² = 1.

Получили каноническое уравнение заданного эллипса.

Отсюда видны полуоси: a = 3, b = √5 и центр эллипса хо = 3, уо = -1.

Находим расстояние от центра до фокусов.

с = √(a² - b²) = √(9 - 5) = 2.

Координаты правого фокуса F2 = (3 + 2; -1) = (5; -1).

Дана прямая 4х + 2у – 1 = 0.

Для перпендикулярной прямой к прямой в виде Ах + Ву + С = 0 коэффициенты А и В меняются на -В и А.

Уравнение имеет вид -2х + 4у + С = 0.

Для определения слагаемого С подставим координаты фокуса F2.

-2*5 + 4*(-1) + C = 0. Отсюда С = 4 + 10 = 14.

Ответ: прямая -2х + 4у + 14 = 0  или разделив на (-2):

x - 2y - 7 = 0.

Answer 2

Для того чтобы провести прямую, перпендикулярную данной прямой 4x + 2y - 1 = 0 через правый фокус эллипса 5x^2 + 9y^2 - 30x + 18y + 9 = 0, мы сначала найдем координаты правого фокуса эллипса. Правый фокус эллипса находится на оси x, на расстоянии c от начала координат, где c - фокусное расстояние. Фокусное расстояние c связано с полуосями эллипса a и b следующим образом:

c = sqrt(a^2 - b^2)

Для эллипса 5x^2 + 9y^2 - 30x + 18y + 9 = 0 мы должны представить его в канонической форме, чтобы найти a и b:

5x^2 - 30x + 9 + 9y^2 + 18y = 0 5(x^2 - 6x) + 9(y^2 + 2y) = -9 5(x^2 - 6x + 9) + 9(y^2 + 2y + 1) = -9 + 59 + 91 5(x - 3)^2 + 9(y + 1)^2 = 45

Теперь мы видим, что a^2 = 45 и b^2 = 5, следовательно, c^2 = a^2 - b^2 = 45 - 5 = 40, и c = sqrt(40) = 2*sqrt(10).

Теперь мы знаем, что правый фокус эллипса находится на оси x в точке (3 + c, -1), что равно (3 + 2*sqrt(10), -1).

Далее, чтобы провести прямую, перпендикулярную прямой 4x + 2y - 1 = 0 через правый фокус эллипса, мы можем использовать следующий метод:

1. Найдем направляющий вектор для заданной прямой 4x + 2y - 1 = 0. Уравнение данной прямой можно записать в виде: 2y = -4x + 1 y = -2x + 1/2

   Из этого уравнения видно, что направляющий вектор прямой равен (1, -2).

2. Теперь мы знаем направление прямой. Чтобы провести прямую, перпендикулярную данной прямой, через точку (3 + 2*sqrt(10), -1), мы можем использовать формулу для уравнения прямой в параметрической форме:

   x = x0 + at y = y0 + bt

   Где (x0, y0) - это координаты начальной точки (точки, через которую проходит прямая), а (a, b) - направляющий вектор.

   В нашем случае: x0 = 3 + 2*sqrt(10) y0 = -1 a = 1 b = -2

3. Теперь мы можем записать уравнение прямой, перпендикулярной 4x + 2y - 1 = 0 и проходящей через правый фокус эллипса: x = 3 + 2*sqrt(10) + t y = -1 - 2t

Это уравнение описывает прямую, которая проходит через правый фокус эллипса и перпендикулярна заданной прямой 4x + 2y - 1 = 0.