Question

Помогите пожалуйста прошу задачки на вероятность( После изготовления 9 одинаковых деталей проходят проверку на соответствие качеству. Вероятность брака для каждой детали одинакова и равна 0,7. Найти вероятность то, что: 1) При проверке окажется ровно 5 качественных деталей; 2) Найти наивероятнейшее количество бракованных деталей из 9 проверенных.

Answer 1

Пусть проводится $n = 9$ одинаковых испытаний, в каждом из которых то самое событие $A$ — бракованная деталь — происходит с одинаковой вероятностью $P(A) = p = 0,7$ и не происходит с одинаковой вероятностью $P(\overline{A}) = q = 1 - p = 0,3.$ Такую совокупность условий называют схемой Бернулли с параметрами $n, ~ A, ~ p, ~ q.$

1) Если при проверке окажется ровно 5 качественных деталей, то будет 4 бракованных деталей;

Вероятность того, что в схеме Бернулли событие $A$ произойдет ровно $k = 4,$ обозначают $P_{n}(k).$

Воспользуемся теоремой Бернулли: в схеме Бернулли с параметрами $n, ~ A, ~ p, ~ q$ справедливо равенство $P_{n}(k) = C^{k}_{n} \cdot p^{k} \cdot q^{n-k}.$ Это равенство называют формулой Бернулли.

Имеем:

$P_{9}(4) = C^{4}_{9} \cdot (0,7)^{4} \cdot (0,3)^{9-4} \approx 0,074.$

2) Частота $m_{0}$ наступления события $A$ в $n=9$ независимых повторных испытаниях называется наивероятнейшим количеством (появления этого события), если ей соответствует наибольшая вероятность. Оно определяется по формуле:

$np - q \leq m_{0} \leq np + p, ~ m_{0} \in \mathbb{Z}$

$9 \cdot 0,7 - 0,3 \leq m_{0} \leq 9 \cdot 0,7 + 0,7, ~ m_{0} \in \mathbb{Z}$

$6 \leq m_{0} \leq 7, ~ m_{0} \in \mathbb{Z}$

Таким образом, $m_{0} = 6$ или $m_{0} = 7.$

Ответ: 1) 0,074; 2) 6 или 7.

Answer 2

Для решения этих задач, мы можем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть последовательность испытаний (проверок) с двумя возможными исходами (качественная деталь или бракованная деталь), и вероятность успеха (прохождение проверки) остается const = 0,3 (1 - 0,7) во всех испытаниях.

1. Вероятность того, что при проверке окажется ровно 5 качественных деталей, можно вычислить с помощью биномиального распределения:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k)

где:

• n - общее количество деталей (9 в данном случае)
• k - количество качественных деталей (5 в данном случае)
• p - вероятность успеха (вероятность прохождения проверки для одной детали, 0,3 в данном случае)

Теперь мы можем подставить значения и вычислить вероятность:

P(X = 5) = C(9, 5) * (0,3)^5 * (0,7)^(9 - 5)

Сначала вычислим биномиальный коэффициент C(9, 5):

C(9, 5) = 9! / (5!(9 - 5)!) = 126

Теперь подставим это значение и вычислим вероятность:

P(X = 5) = 126 * (0,3)^5 * (0,7)^4 ≈ 0,1037

Итак, вероятность того, что при проверке окажется ровно 5 качественных деталей, составляет примерно 0,1037 или 10,37%.

2. Чтобы найти наивероятнейшее количество бракованных деталей из 9 проверенных, мы должны найти значение k, для которого вероятность P(X = k) максимальна. В данном случае, мы можем пройти через все возможные значения k от 0 до 9 и вычислить P(X = k) для каждого значения. Затем выбрать значение k, для которого P(X = k) максимальна.

К счастью, в данной задаче наивероятнейшее количество бракованных деталей можно найти с помощью формулы для биномиального распределения. Нам не нужно вычислять каждую вероятность вручную.

Наивероятнейшее значение k можно найти, используя формулу:

k = np

где:

• n - общее количество деталей (9 в данном случае)
• p - вероятность брака для каждой детали (0,7 в данном случае)

k = 9 * 0,7 = 6,3

Поскольку k должно быть целым числом (нельзя иметь доли деталей), наивероятнейшее количество бракованных деталей составляет 6.