Question

Критические точки функции f(x) = 3x в 5 степени + 4x в 3 степени + 2 и уравнение касательной

Answer 1

Решение задания прилагаю

Answer 2

Для нахождения критических точек функции f(x) = 3x^5 + 4x^3 + 2, мы должны сначала найти производную этой функции и затем найти значения x, при которых производная равна нулю.

1. Найдем производную функции f(x):

f'(x) = d/dx (3x^5 + 4x^3 + 2)

Чтобы найти производную, используем правило степенной функции:

f'(x) = 15x^4 + 12x^2

2. Теперь найдем критические точки, уравнение для которых будет f'(x) = 0:

15x^4 + 12x^2 = 0

Теперь решим это уравнение. Давайте вынесем общий множитель x^2:

x^2(15x^2 + 12) = 0

Теперь у нас есть два множителя, и мы рассмотрим их по отдельности:

a) x^2 = 0 Это уравнение имеет один корень x = 0.

b) 15x^2 + 12 = 0 Выразим x^2:

15x^2 = -12

x^2 = -12/15 x^2 = -4/5

Однако это уравнение не имеет действительных корней, так как -4/5 отрицательное число, и его квадрат не может быть отрицательным.

Итак, у нас есть одна критическая точка x = 0.

3. Теперь, чтобы найти уравнение касательной к функции в точке x = 0, мы используем формулу для уравнения касательной:

y - y₀ = f'(x₀)(x - x₀)

Где (x₀, y₀) - это координаты критической точки, а f'(x₀) - значение производной в этой точке.

Для x₀ = 0, f'(0) = 0, так как производная в этой точке равна нулю.

Теперь у нас есть уравнение касательной:

y - y₀ = 0(x - 0)

Упростим его:

y - y₀ = 0

И, так как у нас y₀ = f(0), подставим значение функции в этой точке:

y - 2 = 0

Таким образом, уравнение касательной к функции f(x) = 3x^5 + 4x^3 + 2 в точке x = 0:

y = 2