Question

Пожалуйста решить по методу Коши! y''-2y'=0 y(0)=0, y'(0)=8

Answer 1

Ответ:

замена:

\begin{gathered}y = {e}^{kx} \\ \end{gathered}

y=e

kx

\begin{gathered} {k}^{2} - 2k = 0 \\ k1 = 0 \\ k2 = 2 \\ y = C1 {e}^{2x} + C2\end{gathered}

k

2

−2k=0

k1=0

k2=2

y=C1e

2x

+C2

общее решение

y(0) = 0,y'(0) = 8y(0)=0,y

′

(0)=8

y = 2C1 {e}^{2x}y=2C1e

2x

система:

\begin{gathered}C1 {e}^{0} + C2 = 0 \\ 2C1 {e}^{0} = 8 \\ \\ C1 = 4\\ C2 = - C 1 = - 4\end{gathered}

C1e

0

+C2=0

2C1e

0

=8

C1=4

C2=−C1=−4

Answer 2

замена:

$y = {e}^{kx}$

${k}^{2} - 2k = 0 \\ k1 = 0 \\ k2 = 2 \\ y = C1 {e}^{2x} + C2$

общее решение

$y(0) = 0,y'(0) = 8$

$y = 2C1 {e}^{2x}$

система:

$C1 {e}^{0} + C2 = 0 \\ 2C1 {e}^{0} = 8 \\ \\ C1 = 4\\ C2 = - C 1 = - 4$

$y = 4 {e}^{2x} - 4$

частное решение

Answer 3

Для решения данного дифференциального уравнения методом Коши, мы должны представить его в виде системы двух связанных дифференциальных уравнений первого порядка. Введем замену:

z = y'

Тогда наше уравнение примет вид:

z' - 2z = 0

Теперь мы имеем систему уравнений первого порядка:

1. y' = z
2. z' = 2z

Теперь давайте решим эту систему уравнений. Начнем с второго уравнения:

z' = 2z

Это уравнение легко решается разделением переменных:

(1/z)dz = 2dt

Интегрируя обе стороны:

ln|z| = 2t + C1

где C1 - произвольная постоянная.

Теперь возьмем экспоненту от обеих сторон:

|z| = e^(2t+C1)

Так как z может быть как положительным, так и отрицательным, уберем модуль:

z = ±e^(2t+C1)

Теперь давайте перейдем ко второму уравнению:

y' = z

y' = ±e^(2t+C1)

Теперь интегрируем это уравнение по t:

y = ±∫e^(2t+C1)dt + C2

y = ±(1/2)e^(2t+C1) + C2

y = ±(1/2)e^(2t)e^(C1) + C2

Теперь, чтобы учесть начальные условия y(0) = 0 и y'(0) = 8, мы можем найти значения постоянных C1 и C2.

Из условия y(0) = 0:

0 = ±(1/2)e^(0)e^(C1) + C2

C2 = ±(1/2)e^(C1)

Из условия y'(0) = 8:

8 = ±2e^(0)e^(C1)

e^(C1) = 4

Теперь мы можем найти C2:

C2 = ±(1/2)e^(C1) = ±(1/2) * 4 = ±2

Таким образом, у нас есть два возможных решения:

1. y(t) = (1/2)e^(2t) + 2
2. y(t) = -(1/2)e^(2t) - 2

Это окончательные решения задачи Коши для данного дифференциального уравнения с начальными условиями y(0) = 0 и y'(0) = 8.