Question

Довести, що сума квадратів любих послідовних чисел не являється квадратом цілого числа

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Пусть эти числа а и а+1, тгда a^2+(a+1)^2=a^2+a^2+2a+1=2a^2+2a+1-данное выражение нельзя представитьв виде квадрата

Answer 2

Давайте розглянемо суму квадратів послідовних цілих чисел. Позначимо ці числа через n, n+1, n+2 і так далі (де n - довільне ціле число). Тоді сума квадратів цих чисел виглядає так:

S = n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 + ...

Давайте розглянемо цю суму та спробуємо довести, що вона не є квадратом цілого числа.

Спочатку розкриємо квадрати у виразі:

S = n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4) + ...

Тепер давайте спростимо цю суму:

S = n^2 + n^2 + 2n + 1 + n^2 + 4n + 4 + ...

S = 3n^2 + 6n + 5 + ...

Тепер ми маємо суму, яка містить член "3n^2," який завжди буде кратним 3, член "6n," який завжди буде кратним 6, і "5," яке завжди буде невід'ємним числом. На жаль, ця сума не може бути квадратом цілого числа, оскільки вона містить члени, які завжди будуть містити прості числа 3 та 5 у своїй розкладці на прості множники, але не містить простого числа 2 у квадратному вигляді (2 вже використовується для обчислення кратного 6 в члені "6n").

Отже, ми довели, що сума квадратів будь-яких послідовних цілих чисел не є квадратом цілого числа.