Question

Составить уравнение линии,каждая точка удволетворяет заданным условиям.Полученное уравнение привести к каноническому виду и построить кривую Отстоит от прямой x=8 на расстояние в 2 раза больше,чем от точки A(-1;7)

Answer 1

Составить уравнение линии,каждая точка которой отстоит от прямой x=8 на расстояние в 2 раза больше,чем от точки A(-1; 7).

Пусть точка М(х; у) удовлетворяет заданным условиям.

Расстояние от точки М до А равно: АМ = √(х - (-1))² + (у - 7)²).

Расстояние точки М от прямой х = 8 равно (8 - х).

По условию задания 2*√((х - (-1))² + (у - 7)²) = (8 - х).

Возведём обе части уравнения в квадрат.

4*((х + 1))² + (у - 7)²) = (8 - х)². Раскроем скобки.

4*(х² + 2х + 1 + у² - 14у + 49) = 64 - 16х + х²,

4х² + 8х + 4 + 4у² - 56у + 196 = 64 - 16х + х²,

3х² + 4у² + 24х - 56у + 136 = 0.

Выделяем полные квадраты:

для x:

3(x²+2·4x + 42) -3·42 = 3(x+4)²-48

для y:

4(y²-2·7y + 72) -4·72 = 4(y-7)²-196

В итоге получаем:

3(x + 4)² + 4(y - 7)² = 108 .

Разделим все выражение на 108

( (x + 4)²/36) + ((y - 7)²/27) = 1.

Получили каноническое уравнение эллипса:

( (x + 4)²/6²) + ((y - 7)²/(3√3)²) = 1.

4. Параметры кривой.

Полуоси эллипса равны: a = 6, b = 3√3.

Центр эллипса расположен в точке:  C(-4; 7) .

Найдем координаты фокусов F2(-c;0) и F1(c + x(C);0+y(C)), где c - половина расстояния между фокусами /

c = √(a² - b²) = √(36 - 27) = √9 = 3.

Итак, c учетом центра, координаты фокусов равны:

F2(-3+(-4;0+7) = (-7; 7),

F1(3+(-4);0+7) = (-1; 7) = A.

Тогда эксцентриситет будет равен: e = c/a = 3/6 = 1/2.

Вследствие неравенства c < a эксцентриситет эллипса меньше 1.

Answer 2

Давайте начнем с составления уравнения линии, которая отстоит от прямой x = 8 на расстояние в 2 раза больше, чем от точки A(-1;7).

Пусть точка M(x, y) на этой линии. Мы знаем, что расстояние между точкой M и прямой x = 8 равно вдвое больше, чем расстояние между точкой M и точкой A(-1;7). Давайте обозначим расстояние от точки M до прямой x = 8 как d1 и расстояние от точки M до точки A как d2.

Теперь давайте найдем d1 и d2:

1. Расстояние от точки M до прямой x = 8 равно разнице между x-координатой точки M и x-координатой прямой x = 8:

   d1 = |x - 8|

2. Расстояние от точки M до точки A можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками:

   d2 = √((x - (-1))^2 + (y - 7)^2)

Теперь мы знаем, что расстояние от точки M до прямой x = 8 равно удвоенному расстоянию от точки M до точки A:

2 * d2 = |x - 8|

Теперь у нас есть уравнение:

2 * √((x - (-1))^2 + (y - 7)^2) = |x - 8|

Чтобы привести это уравнение к каноническому виду, сначала уберем модуль на правой стороне, используя два случая:

1. x - 8, если x >= 8
2. 8 - x, если x < 8

Уравнение будет иметь вид:

2 * √((x - (-1))^2 + (y - 7)^2) = x - 8, x >= 8 2 * √((x - (-1))^2 + (y - 7)^2) = 8 - x, x < 8

Теперь можно развести квадраты на обеих сторонах уравнений:

4 * ((x - (-1))^2 + (y - 7)^2) = (x - 8)^2, x >= 8 4 * ((x - (-1))^2 + (y - 7)^2) = (8 - x)^2, x < 8

Упростим уравнения:

4 * (x - (-1))^2 + 4 * (y - 7)^2 = (x - 8)^2, x >= 8 4 * (x - (-1))^2 + 4 * (y - 7)^2 = (8 - x)^2, x < 8

Теперь это уравнение в канонической форме. Мы можем построить кривую, используя это уравнение. Однако обратите внимание, что у нас есть два уравнения для разных диапазонов x (x >= 8 и x < 8), поэтому кривая будет иметь две части, которые можно построить отдельно для каждого из них.