Question

Помогите Методом неопределенности коэффициентов найти Общее решение линейного неоднородного Уравнение иного порядка со сталью коефициентами. Методом невизначених коефіцієнтів знайти загальний розв'язок лінійного неоднорідного рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами.

Answer 1

1) Решаем ОЛДУ:

$y'' + 2y' = 0$

Замена:

$y = {e}^{kx} \\ {e}^{kx} ( {k}^{2} + 2k) = 0 \\ k(k + 2) = 0 \\ k1 = 0 \\ k2 = -2 \\ y = C1 {e}^{ - 2x} + C2$

2) Подбираем Y

$Y = A \sin(x) + B \cos(x) \\ Y' = A \cos(x) - B \sin(x) \\ Y'' = - A\sin(x) - B \cos(x)$

Подставляем в НЛДУ:

$- A \sin(x) - B \cos(x) + 2A \cos(x) - 2B \sin(x) = \sin(x) + \cos(x)$

В систему:

$- A - 2B = 1 \\ - B+ 2A = 1$

$- A - 2B = 1 \\ B = 2A - 1$

$- A - 4A + 2 = 1 \\ - 5A = - 1 \\ A = \frac{1}{5}$

$B = \frac{2}{5} - 1 = - \frac{3}{5}$

получаем

$Y = \frac{1}{5} \sin(x) - \frac{3}{5} \cos(x)$

общее решение y=y+Y

Ответ:

$y = C1 {e}^{ - 2x} + C2 + \frac{1}{5} \sin(x) - \frac{3}{5} \cos(x)$

Answer 2

Для нахождения общего решения линейного неоднородного уравнения второго порядка со сталими коэффициентами методом неопределенных коэффициентов, давайте предположим, что решение имеет следующий вид:

$y(x) = A\cdot y_1(x) + B\cdot y_2(x) + y_p(x),$

где $A$ и $B$ - неопределенные коэффициенты, $y_1(x)$ и $y_2(x)$ - линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения, а $y_p(x)$ - частное решение неоднородного уравнения.

1. Сначала найдем решения $y_1(x)$ и $y_2(x)$ однородного уравнения (уравнения без правой части). Уравнение общего вида выглядит так:

$ay''(x) + by'(x) + cy(x) = 0,$

где $a$, $b$ и $c$ - константы.

Решение этого уравнения можно найти методом характеристического уравнения, которое имеет вид:

$ar^2 + br + c = 0.$

Решим это квадратное уравнение и найдем корни $r_1$ и $r_2$. Решения $y_1(x)$ и $y_2(x)$ будут следующими:

$y_1(x) = e^{r_1x},$ $y_2(x) = e^{r_2x}.$

2. Теперь найдем частное решение $y_p(x)$ для неоднородного уравнения. Чтобы это сделать, нужно знать форму правой части неоднородного уравнения. Предположим, что правая часть имеет вид $f(x)$. Теперь определим вид $y_p(x)$ в зависимости от $f(x)$ и коэффициентов уравнения.

Если $f(x)$ - это многочлен, то предполагаем, что $y_p(x)$ также будет многочленом той же степени.

Если $f(x)$ - это экспоненциальная или тригонометрическая функция, то предполагаем, что $y_p(x)$ будет иметь аналогичный вид.

Далее, подставляем предполагаемый вид $y_p(x)$ в неоднородное уравнение и решаем его, чтобы найти коэффициенты.

3. После того как найдены $y_1(x)$, $y_2(x)$ и $y_p(x)$, общее решение будет иметь вид:

$y(x) = A\cdot y_1(x) + B\cdot y_2(x) + y_p(x).$

Значения коэффициентов $A$ и $B$ могут быть определены из начальных или граничных условий задачи.

Обратите внимание, что точный вид $y_p(x)$ зависит от правой части уравнения, поэтому вам нужно будет конкретизировать форму $f(x)$, чтобы продолжить расчеты.