Question

Розвязать уравнение yy''+(y')^2=0

Answer 1

Ответ: y=C либо y=√(C1*x+C2), где C1≠0, С и С2 - произвольные постоянные.

Пошаговое объяснение:

В данном случае имеем уравнение, в которое не входит аргумент x. Полагаем y'=p(y), тогда y"=p*dp/dy и уравнение принимает вид: y*p*dp/dy+p²=p*(y*dp/dy+p)=0. Отсюда либо p=y'=0, и тогда y=C, где С - произвольная постоянная, либо y*dp/dy+p=0. Это уравнение приводится к уравнению с разделёнными переменными dp/p=-dy/y. Интегрируя, находим ln/p/=-ln/y/+ln/C0/, или p=C0/y, где C0 - произвольная, но не равная нулю постоянная. Заменяя p на dy/dx, получаем уравнение первого порядка dy/dx=C0/y, или y*dy=C0*dx. Интегрируя, получаем 1/2*y²=C0*x+1/2*C2, где C2 - произвольная постоянная. Отсюда y²=2*C0*x+C2=C1*x+C2 и y=√(C1*x+C2), где C1=2*C0. Проверка: y'=C1/[2*√(C1*x+C2), y"=-C1²/{4*√[(C1*x+C2)³]}; y*y"=-C1²/[4*(C1*x+C2)]; (y')²=C1²/[4*(C1*x+C2)], y*y"+(y')²=0 - решение найдено верно.  

Answer 2

Давайте рассмотрим данное дифференциальное уравнение второго порядка:

yy'' + (y')^2 = 0.

Здесь y' обозначает производную функции y по переменной x, а y'' обозначает вторую производную y по x.

Для начала, давайте введем подстановку для упрощения уравнения. Пусть p = y', тогда y'' = dp/dx. Теперь мы можем переписать уравнение следующим образом:

y(dp/dx) + p^2 = 0.

Теперь это уравнение можно рассматривать как уравнение в переменных p и y. Давайте попробуем разделить переменные и решить его:

y(dp/dx) + p^2 = 0.

y dp + p^2 dx = 0.

Теперь давайте разделим обе стороны на yp^2:

(dp/p^2) + (dy/y) = 0.

Теперь проинтегрируем обе стороны:

∫(dp/p^2) + ∫(dy/y) = ∫0.

Это даст нам:

-1/p + ln|y| = C1,

где C1 - константа интегрирования.

Теперь давайте решим это уравнение относительно p:

-1/p = ln|y| + C1,

1/p = -ln|y| - C1.

p = -1/(-ln|y| - C1).

p = 1/(ln|y| + C1).

Теперь мы имеем выражение для производной p относительно y. Мы можем решить это уравнение, чтобы получить y(y') и выразить y как функцию x.

Пусть z = ln|y| + C1, тогда:

1/p = z.

Теперь возьмем экспоненту от обеих сторон:

e^(1/p) = e^z.

Теперь заметим, что e^z = |y|e^C1, и так как e^C1 - это константа, обозначим ее как K:

e^(1/p) = K|y|.

Теперь возьмем модуль от обеих сторон и решим уравнение относительно |y|:

|y| = (1/K)e^(1/p).

Теперь давайте учтем, что y может быть положительным или отрицательным, поэтому:

y = ±(1/K)e^(1/p).

Таким образом, решение данного дифференциального уравнения yy'' + (y')^2 = 0 имеет вид:

y(x) = ±(1/K)e^(1/p(x)).

где p(x) - произвольная функция x, а K - произвольная постоянная.