Question

Даю 25 баллов. Составить уравнение сферы, проходящей через начало координат и окружность x^2+y^2+z^2=25 и 2x–3y+5z–5=0

Answer 1

Ответ:

ответ: x2+y2+z2–10x+15y–25z=0

Answer 2

Чтобы найти уравнение сферы, проходящей через начало координат и окружность, сначала найдем центр сферы и её радиус.

Известно, что окружность имеет уравнение: $x^2 + y^2 + z^2 = 25$

Теперь найдем уравнение плоскости, заданной уравнением: $2x - 3y + 5z - 5 = 0$

Плоскость проходит через начало координат, так как у неё коэффициенты перед x, y и z равны нулю. Это означает, что она проходит через начало координат.

Теперь, чтобы найти центр сферы, мы можем найти точку пересечения этой плоскости с линией, проведенной из начала координат. Эта линия имеет параметрическое уравнение: $x = at$ $y = bt$ $z = ct$

Где (a, b, c) - направляющий вектор линии, и t - параметр. Так как линия проходит через начало координат, то (0, 0, 0) также лежит на ней. Подставив это в параметрическое уравнение, получаем: $0 = a \cdot 0$ $0 = b \cdot 0$ $0 = c \cdot 0$

Это означает, что a, b и c равны нулю. Таким образом, направляющий вектор линии равен (0, 0, 0), что не имеет смысла. Это означает, что линия из начала координат не пересекается с плоскостью 2x - 3y + 5z - 5 = 0.

Таким образом, центр сферы будет лежать на пересечении этой плоскости и окружности. Мы можем решить систему уравнений, чтобы найти центр сферы.

Система уравнений: $2x - 3y + 5z - 5 = 0$ $x^2 + y^2 + z^2 = 25$

Мы можем решить эту систему, выразив x, y и z. Решение этой системы будет координатами центра сферы.

Сначала выразим x из первого уравнения: $2x = 3y - 5z + 5$ $x = \frac{3y - 5z + 5}{2}$

Теперь подставим это выражение для x во второе уравнение: $\left(\frac{3y - 5z + 5}{2}\right)^2 + y^2 + z^2 = 25$

Теперь у нас есть уравнение относительно y и z. Мы можем решить его, чтобы найти значения y и z, а затем использовать их, чтобы найти x.

После решения системы уравнений и нахождения значений x, y и z, вы сможете записать уравнение сферы в виде: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

Где (x_0, y_0, z_0) - координаты центра сферы, а R - радиус сферы.