Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=x; y=1/x; x=3

Answer 1

Ответ:

$S=4-ln3$

Пошаговое объяснение:

Площадь фигуры, ограниченной данными линиями, можно получить, отняв от площади трапеции с основаниями 1 и 3 и высотой 2 площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями $x=1$, $x=3$ и $y=\frac{1}{x}$.

Площадь трапеции равна $S=\frac{(1+3)2}{2} =4$

Площадь криволинейной трапеции равна $S=\int\limits^3_1 {\frac{1}{x} } \, dx =lnx$ от 1 до 3.

То есть, $S=F(b)-F(a)=ln3-ln1=ln3-0=ln3$

Таким образом, искомая площадь фигуры равна

$S=4-ln3$

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = x$, $y = \frac{1}{x}$ и $x = 3$, вам нужно найти точки пересечения этих линий и затем вычислить интеграл, который охватывает эту область.

1. Начнем с нахождения точек пересечения линий $y = x$ и $y = \frac{1}{x}$. Для этого приравняем эти два уравнения:

$x = \frac{1}{x}$

Умножим обе стороны на $x$:

$x^2 = 1$

Теперь возьмем квадратный корень с обеих сторон:

$x = \pm 1$

Таким образом, точки пересечения линий $y = x$ и $y = \frac{1}{x}$ - это $(-1, -1)$ и $(1, 1)$.

2. Теперь нам нужно найти точку пересечения линии $x = 3$ с линией $y = \frac{1}{x}$. Просто подставим $x = 3$ в уравнение $y = \frac{1}{x}$:

Таким образом, точка пересечения линии \(x = 3\) и \(y = \frac{1}{x}\) - это \((3, \frac{1}{3})\). 3. Теперь у нас есть все три точки пересечения: \((-1, -1)\), \((1, 1)\) и \((3, \frac{1}{3})\). Эти точки определяют область фигуры. 4. Теперь мы можем вычислить интеграл для нахождения площади этой фигуры. Площадь между кривыми \(y = x\) и \(y = \frac{1}{x}\) можно найти как разницу между интегралами этих функций от \(-1\) до \(1\): \[A = \int_{-1}^{1} (x - \frac{1}{x}) dx\] А также площадь между кривой \(y = \frac{1}{x}\) и вертикальной линией \(x = 3\): \[B = \int_{1}^{3} (\frac{1}{x}) dx\] Тогда общая площадь фигуры будет равна \(A + B\): \[A + B = \int_{-1}^{1} (x - \frac{1}{x}) dx + \int_{1}^{3} (\frac{1}{x}) dx\] Используя интегралы, вы можете вычислить эту площадь численно.