Question

Применение определенных интегралов для вычисления площадей криволинейных трапеций и объемов тел вращения. xy=6 x+y-7=0

Answer 1

Графиком функции y=7-x  является прямая.

Графиком функции y=6/x  являются ветви гиперболы.  

Найдем абсциссы точек пересечения заданных линий:

Answer 2

Для вычисления площади криволинейных трапеций и объемов тел вращения, сначала нам нужно найти точки пересечения данных кривых. В данном случае у нас есть два уравнения:

1. $xy = 6$
2. $x + y - 7 = 0$

Сначала решим систему уравнений для нахождения точек пересечения.

Из второго уравнения выразим $y$:

$$y = 7 - x$$

Подставим это значение в первое уравнение:

$$x(7 - x) = 6$$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$$7x - x^2 = 6$$

$$x^2 - 7x + 6 = 0$$

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы видим, что $x = 1$ и $x = 6$ являются его корнями:

$$x_1 = 1, \quad x_2 = 6$$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждой из этих точек:

1. Для $x = 1$:

$$y_1 = 7 - 1 = 6$$

2. Для $x = 6$:

$$y_2 = 7 - 6 = 1$$

Итак, у нас есть две точки пересечения кривых: $(1, 6)$ и $(6, 1)$.

Теперь мы можем перейти к вычислению площади криволинейной трапеции и объема тела вращения.

1. Площадь криволинейной трапеции: Площадь криволинейной трапеции можно найти, используя определенный интеграл. Сначала мы должны найти уравнение функции, которое описывает верхнюю границу трапеции, и уравнение функции, которое описывает нижнюю границу. В данном случае верхняя граница это $y = 7 - x$, а нижняя граница это $y = 0$ (ось x).

Интеграл для вычисления площади трапеции будет выглядеть следующим образом:

$$S = \int_{1}^{6} [(7 - x) - 0] \, dx$$

Вычислим этот определенный интеграл:

$$S = \int_{1}^{6} (7 - x) \, dx$$

$$S = \left[7x - \frac{x^2}{2}\right]_{1}^{6}$$

$$S = \left[(7 \cdot 6 - \frac{6^2}{2}) - (7 \cdot 1 - \frac{1^2}{2})\right]$$

$$S = (42 - 18) - (7 - 0.5) = 24 - 6.5 = 17.5$$

Итак, площадь криволинейной трапеции равна 17.5 квадратным единицам.

2. Объем тела вращения: Чтобы найти объем тела вращения, создаваемого вращением графика функции $y = 7 - x$ вокруг оси x на интервале [1, 6], мы можем использовать метод цилиндрических оболочек. Объем такого тела можно выразить следующим образом:

$$V = \pi \int_{1}^{6} [(7 - x)^2] \, dx$$

Вычислим этот определенный интеграл:

$$V = \pi \int_{1}^{6} (49 - 14x + x^2) \, dx$$

$$V = \pi \left[49x - \frac{14x^2}{2} + \frac{x^3}{3}\right]_{1}^{6}$$

$$V = \pi \left[(49 \cdot 6 - \frac{14 \cdot 6^2}{2} + \frac{6^3}{3}) - (49 \cdot 1 - \frac{14 \cdot 1^2}{2} + \frac{1^3}{3})\right]$$

$$V = \pi \left[(294 - 252 + 72) - (49 - 7 + 1)\right]$$

$$V = \pi \left[114 - 43\right] = \pi \cdot 71$$

Итак, объем тела вращения равен $71\pi$ кубическим единицам.