Question

Найдите наибольшее положительное значение параметра, при котором уравнение имеет решение. 2cos^2x+cosx=a.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

2cos^2x+cosx-а=0     к=cosx

2к²+к-а=0.

к=(-1±√(1+8а))/4     cosx=(-1±√(1+8а))/4 ≤1

-1≤(-1±√(1+8а))/4≤1 ,

-4≤-1±√(1+8а) ≤ 4

-3≤√(1+8а) ≤ 5

9≤(1+8а) ≤ 25

8≤8а ≤ 24

1≤а ≤ 3,поскольку речь идет о положительном числе левую границу не рассматриваем

максимальное значение а=3

(если просили бы найти корни,при максимальном или минимальном значении параметра,то

cosx=(-1±√(1+8))/4=-1, х=п+пк или cosx=(-1±√(1+24))/4=1, х=2пк

общий ответ был бы при а=3 х=2пк,а при а=1 х=п+2пк)

Answer 2

Чтобы найти наибольшее положительное значение параметра "a", при котором уравнение $2\cos^2(x) + \cos(x) = a$ имеет решение, мы должны рассмотреть диапазон значений "a", при которых квадратное уравнение $2\cos^2(x) + \cos(x) - a = 0$ имеет действительные корни.

Сначала давайте рассмотрим это уравнение как квадратное уравнение относительно $\cos(x)$:

$2\cos^2(x) + \cos(x) - a = 0$

Теперь давайте воспользуемся дискриминантом $\Delta$ для определения условий, при которых уравнение имеет действительные корни. Для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант вычисляется как $\Delta = b^2 - 4ac$.

В данном случае:

$a = 2$, $b = 1$, $c = -a$.

Теперь вычислим дискриминант:

$\Delta = 1^2 - 4(2)(-a) = 1 + 8a.$

Условие существования действительных корней для нашего уравнения - это $\Delta \geq 0$. Поэтому:

$1 + 8a \geq 0$

Теперь решим это неравенство:

$8a \geq -1$

$a \geq -\frac{1}{8}$

Итак, наибольшее положительное значение параметра "a", при котором уравнение $2\cos^2(x) + \cos(x) = a$ имеет решение, это $a \leq -\frac{1}{8}$.