Question

В прямоугольной трапеции АВСК (AKC = 90°) отрезок BH – пер- пендикуляр, проведенный из вершины В к прямой AK. Найди- те площадь четырехугольника НВСК, если периметр трапеции 42 см, разность длин ее оснований 12 см, а длина большей боковой стороны 13 см. вой 13 стороны см. 32

Answer 1

    В прямоугольной трапеции АВСК (AKC = 90°) отрезок BH – перпендикуляр, проведенный из вершины В к прямой AK. Найдите площадь четырехугольника НВСК, если периметр трапеции 42 см, разность длин её оснований 12 см, а длина большей боковой стороны 13 см.

—————

Ответ: 30 см²

Пошаговое объяснение:  

Четырехугольник НВСК - прямоугольник ( ВС||НК, ВН||СК, ВН и  СК - перпендикуляры).

    Разность длин  оснований трапеции  - отрезок АН=АК-НК=12.

∆ АВН - прямоугольный, с отношением сторон из пифагоровых троек ( 13а:12а:5а), поэтому, поскольку АВ=13 и АН=12, высота трапеции ВН=5.

Р=АВ+ВС+СК+АК=42

Р=13+х+5+х+12=42 =>

2х=42-30=12;

х=6.

Ѕ(НВСК)=ВН•НК=5•6=30 (см²)

Answer 2

Давайте обозначим следующие величины:

Пусть AB и CK - основания трапеции, где AB - большее основание, CK - меньшее основание. BH - высота, проведенная из вершины B к прямой AK. HC - высота, проведенная из вершины C к прямой AK.

Известно:

1. Периметр трапеции равен 42 см, что означает, что сумма всех сторон трапеции равна 42 см:

   AB + BC + CK + AK = 42

2. Разность длин оснований равна 12 см:

   AB - CK = 12

3. Длина большей боковой стороны равна 13 см:

   AK = 13

Мы также заметили, что треугольник AKC - прямоугольный треугольник, так как угол AKC равен 90 градусам.

Теперь давайте найдем значения всех сторон трапеции:

Из уравнения (1) выразим BC:

BC = 42 - AB - CK

Теперь подставим это значение в уравнение (2) и решим его относительно AB:

AB - CK = 12 AB = CK + 12

Теперь мы имеем два уравнения:

AB = CK + 12 (уравнение 3) AK = 13 (уравнение 4)

Теперь мы можем выразить CK из уравнения (3) и подставить это значение в уравнение (1):

CK = AB - 12

AB + BC + CK + AK = 42

AB + (42 - AB - CK) + CK + 13 = 42

Теперь упростим это уравнение:

AB + 42 - AB - AB + 12 + 13 = 42

Теперь сгруппируем и упростим слагаемые:

-2AB + 67 = 42

Теперь выразим AB:

-2AB = 42 - 67 -2AB = -25

AB = -25 / -2 AB = 12.5

Теперь, когда мы знаем длины сторон AB и CK, мы можем найти площадь четырехугольника HVCK. Этот четырехугольник можно разделить на два треугольника - BHK и CKV.

Площадь BHK = 0.5 * BH * BK Площадь CKV = 0.5 * CK * CK

Теперь нам нужно найти значения BH и CK. Для этого мы можем использовать подобие треугольников BHK и AKC:

BH / AB = AK / AC

Теперь подставим известные значения:

BH / 12.5 = 13 / AC

Теперь найдем AC:

AC = (13 * 12.5) / BH

Теперь у нас есть два уравнения:

1. Площадь BHK = 0.5 * BH * BK
2. Площадь CKV = 0.5 * CK * CK

Теперь мы можем найти площадь четырехугольника HVCK, сложив площади BHK и CKV:

Площадь HVCK = Площадь BHK + Площадь CKV

Теперь у нас есть все необходимые значения, чтобы найти площадь четырехугольника HVCK.