Question

Кто нибудь Помогите пожалуйста! Уже который день мучаюсь!!! Найдите объем фигуры, образованной вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у = х^3, касательной к этому графику в точке с абсциссой х0 = 1 и прямой у = 0. Ответ: 2π/63. Как его получили?​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

уравнение касательной в точке х₀ = 1  будет

$y_k = y(x_0)+y'(x_0)(x-x_0)$

y' = (x³)' = 3x²

y(x₀) = 1

y'(x₀) = 3

$y_k=1+3(x-1)$

или

y = 3x-2

теперь ищем точку пересечения касательной и  у=0

это будет 3х-2 =0⇒  х=2/3

теперь к объему

мы будем считать разность объемов тела, ограниченного у=х³ и у=0 (V₁) (от 0 до 1 по х)

и тела ограниченного у= 3х-2 и у=0     (V₂) (от 2/3 до 1 по х)

$V_1=\pi \int\limits^1_1 {(x^3)^2} \, dx = \pi \frac{x^7}{7} I_0^1=\pi \frac{1}{7}$

$V_2=\pi \int\limits^1_{2/3} {(3x-2)^2} \, dx =$  

здесь замена и пересчет пределов интегрирования

u = 3x-2; du=3dx; нижний предел u=0; верхний предел u=1

и тогда получим интеграл

$=\pi \frac{1}{3} \int\limits^1_0 {u^2} \, du =\pi \frac{u^3}{9} I_0^1 = \pi \frac{1}{9}$

и вот теперь

$V_1-V_2 = \pi (\frac{1}{7} -\frac{1}{9} )=\frac{2\pi }{63}$

что и требовалось доказать....

Answer 2

Для нахождения объема фигуры, образованной вращением криволинейной трапеции вокруг оси OX, можно воспользоваться методом цилиндрических оболочек.

Сначала мы найдем уравнение кривой, образующей верхнюю границу данной трапеции. Это будет график функции у = x^3. Теперь нам нужно найти точку пересечения этой кривой с прямой у = 0, чтобы определить пределы интегрирования.

Уравнение для точки пересечения: x^3 = 0 x = 0

Таким образом, нам нужно интегрировать от x = 0 до x = 1, чтобы охватить всю криволинейную трапецию.

Теперь давайте определим радиус цилиндра на расстоянии x от оси OX. Этот радиус будет равен значению функции y = x^3.

Теперь мы можем записать интеграл для объема:

V = ∫[0,1] π * (x^3)^2 dx V = ∫[0,1] π * x^6 dx

Теперь вычислим этот интеграл:

V = π * [x^7/7] от 0 до 1 V = π * (1/7 - 0) V = π/7

Таким образом, объем фигуры, образованной вращением криволинейной трапеции вокруг оси OX, равен π/7. Однако, чтобы получить ответ в виде 2π/63, мы должны учесть, что:

2π/63 = (2/63) * π

Теперь сравним это значение с объемом, который мы вычислили:

(2/63) * π ≠ π/7

К сожалению, ваш ответ 2π/63 неверен. Верный ответ для объема фигуры, образованной вращением криволинейной трапеции вокруг оси OX, равен π/7.