Question

Пожалуйста, помогите решить уравнение: (cos^2)(2x)+(cos^2)(4x)=1+cos(8x)

Answer 1

Ответ:

$\pm \dfrac{\pi }{6} +\dfrac{\pi n}{2} , ~n\in\mathbb {Z};$      $\dfrac{\pi k}{2} ,~k\in\mathbb {Z}.$

Пошаговое объяснение:

$></p> <p>Применим формулу косинуса двойного угла </p> <p><img src=$

$cos^{2} 2x+cos^{2} 4x=1+cos^{2} 4x-sin^{2}4x;\\ \\cos^{2} 2x+cos^{2} 4x=2cos^{2}4x; \\\\cos^{2} 2x+cos^{2} 4x-2cos^{2}4x=0;\\\\cos^{2} 2x-cos^{2} 4x=0|\cdot 2 ;\\\\2cos^{2} 2x-2cos^{2} 4x=0;\\\\1+cos4x -2cos^{2} 4x=0|\cdot(-1);\\\\2cos^{2} 4x-cos4x-1=0$

Пусть $cos4x=t, |t|\leq 1$

Тогда уравнение принимает вид:

$2t^{2} -t-1=0;\\D=(-1)^{2} -4\cdot2\cdot(-1) =1+8=9=3^{2} ;\\t{_1}= \dfrac{1-3}{2\cdot2} =\dfrac{-2}{4} =-\dfrac{1}{2} ;\\\\t{_2}= \dfrac{1+3}{2\cdot2} =\dfrac{4}{4} =1.$

Тогда получим

$1) cos4x=- \dfrac{1}{2} ;\\\\4x= \pm \dfrac{2\pi }{3} +2\pi n, ~n\in\mathbb {Z};\\\\x=\pm \dfrac{\pi }{6} +\dfrac{\pi n}{2} , ~n\in\mathbb {Z}$

$2) cos4x=1;\\4x=2\pi k,~k\in\mathbb {Z};\\x= \dfrac{\pi k}{2} ,~k\in\mathbb {Z}$

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение и попробуем его решить:

cos^2(2x) + cos^2(4x) = 1 + cos(8x)

Сначала мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами, чтобы упростить это уравнение.

Используем тождество:

cos^2(2x) = (1 + cos(4x)) / 2

Теперь уравнение выглядит следующим образом:

(1 + cos(4x)) / 2 + cos^2(4x) = 1 + cos(8x)

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дробей:

1 + cos(4x) + 2cos^2(4x) = 2 + 2cos(8x)

Теперь мы можем заменить cos(8x) в уравнении:

1 + cos(4x) + 2cos^2(4x) = 2 + 2[2cos^2(4x) - 1]

Теперь давайте объединим подобные члены и упростим уравнение:

1 + cos(4x) + 2cos^2(4x) = 2 + 4cos^2(4x) - 2

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

1 + cos(4x) + 2cos^2(4x) - 2 - 4cos^2(4x) + 2 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos(4x):

cos(4x) - 3cos^2(4x) + 1 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Для удобства введем временную переменную, например, t = cos(4x):

t - 3t^2 + 1 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение относительно t. Мы можем использовать квадратное уравнение:

t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = -3, b = 1 и c = 1:

t = (-1 ± √(1 - 4(-3)(1))) / (2(-3)) t = (-1 ± √(1 + 12)) / (-6) t = (-1 ± √13) / (-6)

Теперь у нас есть два значения для t:

1. t1 = (-1 + √13) / (-6)
2. t2 = (-1 - √13) / (-6)

Теперь мы можем вернуться к нашей временной переменной t и найти значения cos(4x):

1. t1 = (-1 + √13) / (-6) cos(4x) = (-1 + √13) / (-6)

2. t2 = (-1 - √13) / (-6) cos(4x) = (-1 - √13) / (-6)

Теперь мы знаем значения cos(4x). Чтобы найти значения x, мы можем использовать обратную функцию косинуса:

1. cos(4x) = (-1 + √13) / (-6) 4x = arccos((-1 + √13) / (-6)) x = (1/4) * arccos((-1 + √13) / (-6))

2. cos(4x) = (-1 - √13) / (-6) 4x = arccos((-1 - √13) / (-6)) x = (1/4) * arccos((-1 - √13) / (-6))

Теперь у нас есть два значения x, которые являются решениями данного уравнения.