Question

Помогите решить пожалуйста ,с полным объяснением sin x -√3 cos x = 0 sin^2 x + 6sin x cos x + 8 cos^2 x = 0 cos 2x + cos 3x = 0

Answer 1

Ответ:  Разложение выражения на множители

  а) sin²x - 3 * sinx * cosx + 2 * cos²x = 0.

  Выделим множители sinx и 2cosx за скобки:

     sin²x - 3 * sinx * cosx + 2 * cos²x = 0;

     sin²x - sinx * cosx - 2 * sinx * cosx + 2 * cos²x = 0;

     sinx * (sinx - cosx) - 2 * cosx * (sinx - cosx) = 0.

     Выделим множитель sinx - cosx за скобки:

     (sinx - cosx) * (sinx - 2 * cosx) = 0.

  Произведение ноль, когда один из множителей ноль:

     [sinx - cosx = 0

     [sinx - 2 * cosx = 0

     [sinx = cosx

     [sinx = 2 * cosx

     [tgx = 1

     [tgx = 2

     [x = π/4 + πk, k ∈ Z

     [x = arctg2 + πk, k ∈ Z

  Ответ: π/4 + πk; arctg2 + πk, k ∈ Z.    

 Разложение на множители

  б) sinx * cosx - √3 * cos²x = 0.

  Выделим множитель cosx за скобки:

     cosx * (sinx - √3 * cosx) = 0.

  Произведение ноль, если один из множителей ноль:

     [cosx = 0

     [sinx - √3 * cosx = 0

     [cosx = 0

     [sinx = √3 * cosx

     [cosx = 0

     [tgx = √3

     [x = π/2 + πk, k ∈ Z

     [x = π/3 + πk, k ∈ Z

  Ответ: π/2 + πk; π/3 + πk, k ∈ Z.  

 Приведение к квадратному уравнению

  в) 3 * sin²x - 3 * sinx * cosx + 4 * cos²x = 0.

  Проверим, cosx = 0 является ли решением уравнения? Для этого заменим cosx на 0:

     3 * sin²x - 3 * sinx * 0 + 4 * 0 = 0;

     sinx = 0.

  Но функции синус и косинус не могут одновременно обращаться в ноль, поэтому cosx = 0 не является решением уравнения. Разделим обе части уравнения на cos²x:

  3 * tg²x - 3 * tgx + 4 = 0.

  Решим квадратное уравнение относительно tgx:

D = b² - 4 * a * c;

D = 3² - 4 * 3 * 4;

D = 9 - 48 = -39 < 0.

  Дискриминант квадратного уравнения меньше нуля, следовательно, уравнение не имеет решений.

  Ответ: x ∈ Ø.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте по очереди рассмотрим каждое уравнение и найдем решения.

1. Уравнение sin x - √3 cos x = 0:

   Мы можем использовать тригонометрический тождественный идентификатор для cos(π/6) = √3/2 и sin(π/6) = 1/2:

   sin x - (√3/2) cos x = 0

   Теперь давайте перемножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дробей:

   2sin x - √3 cos x = 0

   Теперь мы можем представить sin x как sin x = 2sin x и cos x как cos x = √3 cos x и подставить их в уравнение:

   2sin x - √3 cos x - √3 cos x = 0

   2sin x - 2√3 cos x = 0

   Теперь выразим sin x через cos x:

   sin x = √3 cos x

   Теперь мы можем возвести обе стороны в квадрат:

   (sin x)^2 = (√3 cos x)^2

   sin^2 x = 3(cos^2 x)

   Теперь заметим, что у нас есть еще одно уравнение, которое может пригодиться, чтобы избавиться от sin^2 x и cos^2 x:

   sin^2 x + cos^2 x = 1

   Теперь мы можем подставить это в предыдущее уравнение:

   3(cos^2 x) + cos^2 x = 1

   4(cos^2 x) = 1

   Теперь разделим обе стороны на 4:

   cos^2 x = 1/4

   Теперь возьмем квадратный корень с обеих сторон:

   cos x = ±1/2

   Теперь найдем sin x, используя sin x = √3 cos x:

   sin x = √3 * (±1/2) = ±√3/2

   Итак, у нас есть две пары решений для уравнения sin x - √3 cos x = 0:

   1. x = π/6, sin x = √3/2, cos x = 1/2
   2. x = 7π/6, sin x = -√3/2, cos x = 1/2

2. Уравнение sin^2 x + 6sin x cos x + 8 cos^2 x = 0:

   Это уравнение можно решить, используя тождество для cos(2x):

   cos(2x) = 2cos^2 x - 1

   Заметим, что cos^2 x = (1/4) и подставим это значение в тождество:

   cos(2x) = 2(1/4) - 1

   cos(2x) = 1/2 - 1

   cos(2x) = -1/2

   Теперь мы можем подставить это значение обратно в исходное уравнение:

   sin^2 x + 6sin x cos x + 8 cos^2 x = 0

   sin^2 x + 6sin x cos x + 8(1/4) = 0

   sin^2 x + 6sin x cos x + 2 = 0

   Теперь заметим, что sin(2x) = 2sin x cos x, и мы можем использовать это:

   sin^2 x + 3sin(2x) + 2 = 0

   Теперь это уравнение можно рассматривать как квадратное уравнение относительно sin x:

   (sin x)^2 + 3sin x + 2 = 0

   Теперь факторизуем это уравнение:

   (sin x + 1)(sin x + 2) = 0

   Таким образом, у нас есть два возможных значения sin x:

   1. sin x + 1 = 0 => sin x = -1
   2. sin x + 2 = 0 => sin x = -2

   Однако sin x не может быть равным -2, так как его значения лежат в интервале [-1, 1]. Поэтому у нас есть только одно решение для уравнения sin^2 x + 6sin x cos x + 8 cos^2 x = 0:

   sin x = -1

   Теперь мы можем найти cos x, используя sin x и уравнение sin x = √3 cos x:

   -1 = √3 cos x

   cos x = -1/(√3)

   Таким образом, решение уравнения sin^2 x + 6sin x cos x + 8 cos^2 x = 0:

   x = π/2, sin x = -1, cos x = -1/(√3)

3. Уравнение cos 2x + cos 3x = 0:

   Это уравнение можно решить, используя тригонометрические тождества.

   Сначала преобразуем cos 3x с помощью формулы для cos(3θ):

   cos(3x) = 4cos^3 x - 3cos x

   Теперь у нас есть:

   cos 2x + 4cos^3 x - 3cos x = 0

   Перепишем уравнение:

   4cos^3 x - cos 2x - 3cos x = 0

   Теперь мы видим, что это уравнение кубическое относительно cos x. Мы не можем аналитически решить его, но мы можем использовать численные методы или графический способ, чтобы найти его корни.