Question

Найдите производную: cos xy = y/x

Answer 1

Ответ:

$\cos(xy) = \frac{y}{x}$

$- \sin(xy) \times (y + y'x) = \frac{y'x - y}{ {x}^{2} } \\ - y \sin(xy) - y'x \sin(xy) = \frac{y'}{ x } - \frac{y}{ {x}^{2} } \\ - y'x \sin(xy) - \frac{y'}{x} = y \sin(xy) - \frac{y}{ {x}^{2} } \\ y'( - x\sin(xy) - \frac{1}{x} ) = y \sin(xy) - \frac{y}{ {x}^{2} } \\ y' = \frac{y \sin(xy) - \frac{y}{ {x}^{2} } }{ - x\sin(xy) - \frac{1}{x} } \\ y' = \frac{y {x}^{2} \sin(xy) - y}{ {x}^{2} } \times \frac{x}{ - {x}^{2} \sin(xy) - 1 } \\ y' = \frac{y( {x}^{2} \sin(xy) - 1) }{x( - {x}^{2} \sin(xy) - 1) } \\ y' = - \frac{y( {x}^{2} \sin(xy) - 1)}{x( {x}^{2} \sin(xy) + 1) }$

Answer 2

Чтобы найти производную от уравнения $\cos(xy) = \frac{y}{x}$, мы можем использовать неявное дифференцирование. Для этого дифференцируем обе стороны уравнения по переменной $x$.

1. Начнем с левой стороны уравнения:

$\frac{d}{dx} \left( \cos(xy) \right)$

Для дифференцирования композиции функций (в данном случае, $\cos(u)$, где $u = xy$), мы используем правило дифференцирования сложной функции (chain rule):

$\frac{d}{dx} \left( \cos(xy) \right) = -\sin(xy) \cdot \frac{d(xy)}{dx}$

Используя производные произведения:

$\frac{d(xy)}{dx} = x\frac{dy}{dx} + y\frac{dx}{dx} = xy\frac{dy}{dx} + y$

2. Теперь дифференцируем правую сторону уравнения:

$\frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x} \right)$

Для этой дроби мы используем правило дифференцирования частного:

$\frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x} \right) = \frac{x\frac{dy}{dx} - y\frac{dx}{dx}}{x^2} = \frac{x\frac{dy}{dx} - y}{x^2}$

3. Теперь мы можем вернуться к нашему исходному уравнению и подставить найденные производные:

$-\sin(xy) \cdot (xy\frac{dy}{dx} + y) = \frac{x\frac{dy}{dx} - y}{x^2}$

4. Теперь нам нужно выразить производную $\frac{dy}{dx}$ и решить ее:

Раскроем скобки и сгруппируем производные $\frac{dy}{dx}$ в одну часть уравнения:

$-xy\sin(xy) \frac{dy}{dx} - y\sin(xy) = \frac{x\frac{dy}{dx} - y}{x^2}$

Теперь выразим $\frac{dy}{dx}$ в левой части:

$\frac{dy}{dx} (-xy\sin(xy) - x^2) = -y\sin(xy) + y$

Изолируем $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = \frac{-y\sin(xy) + y}{-xy\sin(xy) - x^2}$

Вот производная $\frac{dy}{dx}$ для уравнения $\cos(xy) = \frac{y}{x}$.