Question

Точка K находится на расстоянии 4 см от каждой вершины правильного треугольника ABC. Найдите сторону треугольника, если точка K удалена от плоскости ABC на 2 см​

Answer 1

Ответ:

6 см

Пошаговое объяснение:

Пусть КО - перпендикуляр к плоскости АВС.

КО = 2 см.

ΔКОА = ΔКОВ = ΔКОС по катету и гипотенузе (КО - общий катет, КА = КВ = КС = 4 см по условию), значит точка О равноудалена от вершин треугольника АВС, т.е. О - центр описанной окружности.

Из прямоугольного треугольника АОК по теореме Пифагора:

АО = √(КА² - КО²) = √(4² - 2²) = √(16 - 4) = √12 = 2√3 см

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной а:

$OA=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{a\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$

а = 6 см

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно воспользоваться свойствами правильного треугольника. Поскольку точка K находится на равном расстоянии от каждой из вершин треугольника ABC и удалена от плоскости ABC на 2 см, мы можем построить треугольник, в котором вершины A, B и C будут являться проекциями точки K на плоскость ABC. Такой треугольник будет подобным треугольнику ABC и иметь такие же углы.

Давайте обозначим сторону треугольника ABC как "s". Так как точка K находится на расстоянии 4 см от каждой вершины треугольника, то от точки K до проекции вершины A на плоскость ABC также будет 4 см. Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник AKM, где AK = 4 см, а KM = 2 см.

Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины стороны AM:

AM^2 = AK^2 - KM^2 AM^2 = 4^2 - 2^2 AM^2 = 16 - 4 AM^2 = 12

AM = √12 = 2√3 см.

Так как треугольник AKM подобен треугольнику ABC, отношение стороны AM к стороне AB будет таким же, как отношение стороны KM к стороне BC. Так как AM = 2√3 см, а KM = 2 см, то отношение AM к AB равно 2√3/s.

Теперь мы знаем, что отношение AM к AB равно 2√3/s. Мы также знаем, что в правильном треугольнике отношение длины высоты к стороне равно √3/2. Так как высота треугольника проходит через точку K и перпендикулярна стороне AB, то:

2√3/s = √3/2

Теперь давайте решим это уравнение относительно s:

2√3/s = √3/2

Умножим обе стороны на s и поделим на √3:

2√3 = s√3/2

Умножим обе стороны на 2/√3:

s = (2√3 * 2)/√3

s = 4 см

Таким образом, сторона треугольника ABC равна 4 см.