Question

Четыре числа образуют геометрическую прогрессию. если из них вычесть 2,1,3 и 14, то полученные числа образуют арифметическую прогрессию. Найдите эти числа. ( можете решить, со всеми подробностями пожалуйста)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте обозначим четыре числа как a, ar, ar^2 и ar^3, где "a" - это первый член геометрической прогрессии, а "r" - знаменатель этой прогрессии.

Из условия задачи мы знаем, что если вычесть из них 2, 1, 3 и 14, то полученные числа образуют арифметическую прогрессию. Значит, мы можем записать следующее:

1. ar - 2
2. ar^2 - 1
3. ar^3 - 3
4. ar^4 - 14

Теперь мы знаем, что разница между этими числами образует арифметическую прогрессию. По определению арифметической прогрессии, разница между любыми двумя последовательными членами одинакова. Давайте найдем разницу между первым и вторым членами:

(ar^2 - 1) - (ar - 2) = ar^2 - 1 - ar + 2 = ar^2 - ar + 1

Теперь найдем разницу между вторым и третьим членами:

(ar^3 - 3) - (ar^2 - 1) = ar^3 - 3 - ar^2 + 1 = ar^3 - ar^2 - 2

Теперь найдем разницу между третьим и четвертым членами:

(ar^4 - 14) - (ar^3 - 3) = ar^4 - 14 - ar^3 + 3 = ar^4 - ar^3 - 11

Мы видим, что эти разницы образуют арифметическую прогрессию, поэтому они равны друг другу:

ar^2 - ar + 1 = ar^3 - ar^2 - 2 = ar^4 - ar^3 - 11

Теперь давайте решим эту систему уравнений. Для начала выразим "ar" из первого уравнения:

ar = (ar^2 - 1) + 2 ar = ar^2 + 1

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

ar^2 + 1 - ar + 1 = ar^3 - ar^2 - 2

Упростим уравнение:

ar^3 - ar^2 - ar^2 - ar + 2 = 0

ar^3 - 2ar^2 - ar + 2 = 0

Теперь давайте решим это кубическое уравнение. Один из способов сделать это - это попробовать найти один из его корней. Если мы найдем хотя бы один корень, то можем разделить уравнение на (x - корень) и решить оставшееся квадратное уравнение.

Попробуем x = 1. Подставим это значение в уравнение:

a(1^3) - 2a(1^2) - a(1) + 2 = 0

a - 2a - a + 2 = 0

-2a - a + 2 = 0

-3a + 2 = 0

-3a = -2

a = 2/3

Теперь, когда мы нашли значение "a", мы можем найти значение "r" из уравнения ar = ar^2 + 1:

(2/3)r = (2/3)r^2 + 1

Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от дробей:

2r = 2r^2 + 3

2r^2 - 2r + 3 = 0

Теперь давайте решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение для нахождения значения "r" и затем вычислить значения остальных членов геометрической прогрессии.

Используя дискриминант, определим, имеет ли это уравнение действительные корни:

Дискриминант (D) = (-2)^2 - 4(2)(3) = 4 - 24 = -20

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение имеет комплексные корни. Теперь найдем корни, используя формулу квадратного уравнения:

r = (-b ± √D) / (2a)

r = (2 ± √(-20)) / (2(2))

r = (2 ± 2√5i) / 4

r = (1 ± √5i) / 2

Таким образом, у нас есть два комплексных корня для "r":

1. r₁ = (1 + √5i) / 2
2. r₂ = (1 - √5i) / 2

Теперь у нас есть два набора значений для "a" и "r", которые соответствуют геометрической прогрессии:

Первый набор: a₁ = 2/3 r₁ = (1 + √5i) / 2

Второй набор: a₂ = 2/3 r₂ = (1 - √5i) / 2

Теперь мы знаем значения "a" и "r" для обоих наборов. Давайте вычислим четыре числа геометрической прогрессии:

Для первого набора:

1. Первый член: a₁ = 2/3
2. Второй член: ar₁ = (2/3)((1 + √5i) / 2) = (1/3)(1 + √5i)
3. Третий член: ar₁² = ((1/3)(1 + √5i))((1 + √5i) / 2) = (1/6)(1 + √5i)(1 + √5i) = (1/6)(1 + 2√5i - 5) = (-4/3) - (√5/3)i
4. Четвертый член: ar₁³ = ((-4/3) - (√5/3)i)((1 + √5i) / 2) = (-2/3)(-4 - 2√5i - √5i - 5) = (4/3)(4 + 3√5i)

Для второго набора:

1. Первый член: a₂ = 2/3
2. Второй член: ar₂ = (2/3)((1 - √5i) / 2) = (1/3)(1 - √5i)
3. Третий член: ar₂² = ((1/3)(1 - √5i))((1 - √5i) / 2) = (1/6)(1 - 2√5i + 5) = (8/3) - (√5/3)i
4. Четвертый член: ar₂³ = ((8/3) - (√5/3)i)((1 - √5i) / 2) = (4/3)(8 + 3√5i)

Итак, четыре числа в первой геометрической прогрессии:

1. 2/3
2. (1/3)(1 + √5i)
3. (-4/3) - (√5/3)i
4. (4/3)(4 + 3√5i)

И четыре числа во второй геометрической прогрессии:

1. 2/3
2. (1/3)(1 - √5i)
3. (8/3) - (√5/3)i
4. (4/3)(8 + 3√5i)

Это значения чисел, которые образуют геометрическую прогрессию, из которых при вычитании 2, 1, 3 и 14 получаются числа, образующие арифметическую прогрессию.