Question

Срочно помогите решить дифф. уравнение... y''+7y'+12y=1/(1+e^x)

Answer 1

Ответ:

решение на фотографиях

Answer 2

Давайте решим данное линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

y'' + 7y' + 12y = 1/(1 + e^x)

Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

y'' + 7y' + 12y = 0

Для этого уравнения характеристическое уравнение будет иметь следующий вид:

r^2 + 7r + 12 = 0

Факторизуем это уравнение:

(r + 3)(r + 4) = 0

Отсюда получаем два корня:

r1 = -3 и r2 = -4

Общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

y_h(x) = C1 * e^(-3x) + C2 * e^(-4x)

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Для этого предположим, что частное решение имеет вид:

y_p(x) = A / (1 + e^x)

Теперь найдем производные:

y_p'(x) = -A * e^x / (1 + e^x)^2 y_p''(x) = A * (e^x - 2e^(2x)) / (1 + e^x)^3

Подставим y_p и его производные в исходное уравнение:

A * (e^x - 2e^(2x)) / (1 + e^x)^3 + 7 * (-A * e^x / (1 + e^x)^2) + 12 * (A / (1 + e^x)) = 1 / (1 + e^x)

Теперь приведем уравнение к общему знаменателю и упростим его:

A * (e^x - 2e^(2x)) + 7 * (-A * e^x) * (1 + e^x) + 12 * A * (1 + e^x) * (1 + e^x) = 1

A * (e^x - 2e^(2x)) - 7A * e^x * (1 + e^x) + 12A * (1 + e^x)^2 = 1

Теперь преобразуем это уравнение:

A * e^x - 2A * e^(2x) - 7A * e^x - 7A * e^(2x) + 12A * (1 + 2e^x + e^(2x)) = 1

(A - 7A) * e^x + (-2A - 7A) * e^(2x) + 12A * (1 + 2e^x + e^(2x)) = 1

-6A * e^x - 9A * e^(2x) + 12A * (1 + 2e^x + e^(2x)) = 1

Теперь сгруппируем подобные члены:

-6A * e^x - 9A * e^(2x) + 12A + 24A * e^x + 12A * e^(2x) = 1

(18A - 6A) * e^x + (-9A + 12A) * e^(2x) + 12A = 1

12A * e^x + 3A * e^(2x) = 1

Теперь у нас есть уравнение, которое нужно решить:

12A * e^x + 3A * e^(2x) = 1

Выразим A:

A = 1 / (12e^x + 3e^(2x))

Теперь, имея значение A, мы можем записать частное решение:

y_p(x) = 1 / (12e^x + 3e^(2x)) / (1 + e^x)

Теперь общее решение неоднородного уравнения будет суммой общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C1 * e^(-3x) + C2 * e^(-4x) + 1 / (12e^x + 3e^(2x)) / (1 + e^x)

Это и есть итоговое решение данного дифференциального уравнения.