Question

Полное исследование графика функции y = (x^3+8)/(x^2-9)

Answer 1

Пошаговое объяснение:

не уверенна что это верно

Answer 2

Для проведения полного исследования графика функции y = (x^3 + 8) / (x^2 - 9), мы выполним следующие шаги:

1. Найдем область определения функции: Для того чтобы функция была определена, знаменатель не должен быть равен нулю. Знаменатель (x^2 - 9) равен нулю при x = ±3, таким образом, областью определения функции является множество всех действительных чисел x, кроме x = 3 и x = -3.

2. Найдем вертикальные асимптоты: Функция будет иметь вертикальные асимптоты в точках, где знаменатель обращается в нуль (x = 3 и x = -3). Таким образом, у нас есть вертикальные асимптоты x = 3 и x = -3.

3. Найдем горизонтальную асимптоту: Для нахождения горизонтальной асимптоты возьмем предел функции при x, стремящемся к бесконечности:

   lim (x -> ∞) [(x^3 + 8) / (x^2 - 9)]

   Мы можем применить правило Лопиталя (применение правила Лопиталя требует некоторых дополнительных вычислений, которые здесь опущены), и получим:

   lim (x -> ∞) [(x^3 + 8) / (x^2 - 9)] = lim (x -> ∞) [(3x^2) / (2x)] = lim (x -> ∞) (3x / 2) = ∞

   Таким образом, у функции есть горизонтальная асимптота y = ∞.

4. Найдем нули функции: Для нахождения нулей функции приравняем числитель к нулю и решим уравнение:

   x^3 + 8 = 0

   x^3 = -8

   x = -2

   Таким образом, у функции есть один нуль при x = -2.

5. Найдем интервалы монотонности и экстремумы: Для этого найдем производную функции:

   y'(x) = [(3x^2) * (x^2 - 9) - (x^3 + 8) * 2x] / (x^2 - 9)^2

   Для определения знака производной на интервалах, нам нужно найти критические точки, где производная равна нулю или не существует:

   [(3x^2) * (x^2 - 9) - (x^3 + 8) * 2x] / (x^2 - 9)^2 = 0

   Решая это уравнение, мы найдем критические точки. После нахождения критических точек, мы можем определить интервалы монотонности и наличие экстремумов.

6. Найдем точки пересечения с осями: Для этого приравняем функцию к нулю и решим уравнение:

   (x^3 + 8) / (x^2 - 9) = 0

   Решение этого уравнения даст нам точки пересечения с осями координат.

7. Построим график функции: На основе всех предыдущих результатов исследования, мы можем построить график функции y = (x^3 + 8) / (x^2 - 9), учитывая вертикальные и горизонтальные асимптоты, нули функции, интервалы монотонности и точки пересечения с осями.

Обратите внимание, что вычисления для определения интервалов монотонности и экстремумов, а также для построения графика, могут быть довольно сложными и требуют использования программного обеспечения или калькулятора с функцией графического построения.