Question

Найти площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2-6x+8, y=x-2

Answer 1

Ответ:

Решение с графиком и формулой есть на фото

Answer 2

Для нахождения площади фигуры между двумя кривыми $y = x^2 - 6x + 8$ и $y = x - 2$, нужно найти точки их пересечения и вычислить определенный интеграл между этими точками.

Для начала найдем точки пересечения кривых, решив уравнение $x^2 - 6x + 8 = x - 2$:

$$x^2 - 6x + 8 - x + 2 = 0$$

Подсчитаем это уравнение:

$$x^2 - 7x + 10 = 0$$

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения с использованием квадратного уравнения:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Где $a = 1$, $b = -7$, и $c = 10$. Таким образом,

$$x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(1)(10)}}{2(1)}$$

$$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$$

$$x = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2}$$

Теперь найдем два значения $x$:

1. $x_1 = \frac{7 + 3}{2} = 5$
2. $x_2 = \frac{7 - 3}{2} = 2$

Теперь у нас есть две точки пересечения: $x_1 = 5$ и $x_2 = 2$.

Для вычисления площади между этими кривыми мы будем интегрировать разницу $y$ от $x_2$ до $x_1$:

$$\text{Площадь} = \int_{2}^{5} ((x^2 - 6x + 8) - (x - 2)) \, dx$$

Теперь вычислим этот определенный интеграл:

$$\text{Площадь} = \int_{2}^{5} (x^2 - 6x + 8 - x + 2) \, dx$$

$$\text{Площадь} = \int_{2}^{5} (x^2 - 7x + 10) \, dx$$

Вычислим этот интеграл:

$$\text{Площадь} = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{7x^2}{2} + 10x\right]_{2}^{5}$$

$$\text{Площадь} = \left[\frac{5^3}{3} - \frac{7(5^2)}{2} + 10(5)\right] - \left[\frac{2^3}{3} - \frac{7(2^2)}{2} + 10(2)\right]$$

$$\text{Площадь} = \left[\frac{125}{3} - \frac{175}{2} + 50\right] - \left[\frac{8}{3} - \frac{28}{2} + 20\right]$$