Question

Провести анализ функции и построить ее график y(x)=xlnx

Answer 1

Відповідь:

1) область определения функции y=x ln x от нуля до бесконечности, не включая нуль

2) y(-x)=-x ln x - общего вида.

3) точки пересечения с осями:

Oy, но х≠ 0, значит точек пересечения с осью y нет.

Ox: y=0, то есть x ln x=0

x=0 или ln x=0

0 ¢ D(y) x=e0

x=1

(1;0) – точка пересечения с осью х

4) Найдем производную функции:

y’=x’ ln x + x(ln x)’=ln x +1

5) критические точки:

y’=0, то есть ln x +1=0

ln x=-1

x=e-1

x=1/e (≈ 0,4)

y’=0 , если x=1/e , значит x=1/e – критическая точка.

6) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак

функции:

-1/e

- +

1/e

x=1/(2e); y’=log(2e)-1+1=1-ln(2e)=1-ln e=-ln 2<0

x=2e; y’=ln(2e)+1=ln 2+ln e+1=ln 2+2>0

7) Так как на промежутке (0;1/е) y'(x)<0 то на этом промежутке функция убывает

Так как на промежутке (1/е; бесконечность) y'(x)>0 то на этом промежутке функция возрастат.

Следовательно точка х=1/е является точкой минимума.

8) экстремумы функции:

ymin=y(1/e)=1/e ln e-1=-1/e (≈ -0,4).

9)

Горизонтальной асимптоты у функции нет, поскольку предел функции при стремлении х в плюс бесконечность равен плюс бесконечности.

Вертикальные асимптомы- подозреваемая точка х=0(граница области определения).Чтобы узнать, будет ли х=0 вертикальной асимптотой надо найти предел функции при х стремящемся к нулю справа. этот предел равен нулю. Следовательно, по определению, х=0 не является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты. Если они и есть, то только правые (слева область определения ограниченна 0).

по теореме о существовании наклонных асимптот, если существуют конечные lim f(x)/x =k и lim f(x)-kx =b (х в обоих случаях стремится к плюс бесконечности, раз ищем правую асимптоту) , то y=kx+b будет наклонной асимптотой.

вычисляя lim f(x)/x получаем бесконечность, следовательно, наклонных асимптот нет.

Таким образом, у функции нет асимптот.

Покрокове пояснення:

Answer 2

Давайте проведем анализ функции y(x) = xln(x) и построим ее график.

1. Область определения: Функция y(x) = xln(x) определена только для положительных значений x, так как натуральный логарифм ln(x) определен только для положительных аргументов. Таким образом, область определения функции - это интервал (0, +∞).

2. Производная: Чтобы найти производную функции, используем правило производной произведения:

   y'(x) = x * (d/dx)ln(x) + ln(x) * (d/dx)x

   Первая часть (d/dx)ln(x) равна 1/x (по правилу производной натурального логарифма), а вторая часть (d/dx)x равна 1. Таким образом, производная функции будет:

   y'(x) = 1 + ln(x)

3. Нули производной: Чтобы найти точки, в которых производная функции равна нулю, решим уравнение 1 + ln(x) = 0:

   ln(x) = -1

   x = e^(-1)

   Таким образом, точка x = 1/e будет точкой экстремума функции.

4. Знак производной: Теперь определим знак производной на интервалах. Для этого выберем тестовые точки в каждом интервале:

   • В интервале (0, 1/e) возьмем x = 1, что меньше 1/e. Подставим x = 1 в y'(x) = 1 + ln(x): y'(1) = 1 + ln(1) = 1 + 0 = 1 Таким образом, на этом интервале производная положительна.

   • В интервале (1/e, +∞) возьмем x = 2, что больше 1/e. Подставим x = 2 в y'(x) = 1 + ln(x): y'(2) = 1 + ln(2) ≈ 1 + 0.6931 ≈ 1.6931 Таким образом, на этом интервале производная положительна.

   Итак, производная функции положительна на всей области определения (0, +∞).

5. Точки экстремума: У нас есть одна точка экстремума, x = 1/e. Для определения характера экстремума, можем воспользоваться второй производной. Если y''(x) > 0 в окрестности точки x, то это точка минимума, иначе это точка максимума.

   Вычислим вторую производную:

   y''(x) = (d/dx)(1 + ln(x)) = 1/x

   Подставим x = 1/e:

   y''(1/e) = 1/(1/e) = e

   Так как y''(1/e) > 0, то точка x = 1/e - точка минимума.

6. Асимптоты: Функция y(x) = xln(x) не имеет вертикальных асимптот, так как она определена на всей области определения. Однако можно выявить горизонтальную асимптоту, когда x стремится к бесконечности:

   lim(x->∞) xln(x) = +∞

   Это означает, что график функции стремится к бесконечности при x -> +∞.

7. График: Теперь построим график функции y(x) = xln(x):

   • Функция определена на интервале (0, +∞).
   • У нее есть точка минимума при x = 1/e.
   • График стремится к бесконечности при x -> +∞.

   График будет начинаться в точке (0, 0) и постепенно возрастать, имея локальный минимум в точке (1/e, -1/e). График также будет стремиться к бесконечности по оси y при x -> +∞.

   Пожалуйста, обратите внимание, что этот анализ и построение графика были проведены аналитически. Для более точного построения графика можно воспользоваться программой для графического моделирования или калькулятором.