Question

Найти градиент функции u=f(x,y,z) в точке М u = x^2*y-корень(x*y+z^2) M(1,5,-2).

Answer 1

Ответ:

$u=x^2y-\sqrt{xy+z^2}\ \ ,\ \ \ M(1;5;-2)\\\\u'_{x}=2xy-\dfrac{y}{2\sqrt{xy+z^2}}\ \ ,\ \ \ u'_{y}=x^2-\dfrac{x}{2\sqrt{xy+z^2}}\ \ ,\ \ u'_{z}=\dfrac{-2z}{2\sqrt{xy+z^2}}\\\\\\u'_{x}\Big|_{M}=10-\dfrac{5}{\sqrt{9}}=10-\dfrac{5}{3}=\dfrac{25}{3}\ \ ,\ \ u'_{y}\Big|_{M}=25-\dfrac{1}{3}=\dfrac{74}{3}\ \ ,\ \ u'_{z}\Big|_{M}=\dfrac{2}{3}\\\\\\\overline {grad\, u}\Big|_{M}=\dfrac{25}{3}\, \vec{i}+\dfrac{74}{3}\, \vec{j}+\dfrac{2}{3}\, \vec{k}$

Answer 2

Чтобы найти градиент функции $u = f(x, y, z)$ в точке $M(1, 5, -2)$, мы сначала найдем частные производные функции по каждой из переменных $x$, $y$ и $z$, а затем подставим значения $x = 1$, $y = 5$ и $z = -2$ в эти производные.

Функция $u$: $u = x^2y - \sqrt{xy + z^2}$

Найдем частные производные:

1. Частная производная по $x$ ($\frac{\partial u}{\partial x}$): $\frac{\partial u}{\partial x} = 2xy - \frac{1}{2\sqrt{xy + z^2}} \cdot (y + 0)$ $\frac{\partial u}{\partial x} = 2xy - \frac{y}{2\sqrt{xy + z^2}}$

2. Частная производная по $y$ ($\frac{\partial u}{\partial y}$): $\frac{\partial u}{\partial y} = x^2 - \frac{1}{2\sqrt{xy + z^2}} \cdot (x + 0)$ $\frac{\partial u}{\partial y} = x^2 - \frac{x}{2\sqrt{xy + z^2}}$

3. Частная производная по $z$ ($\frac{\partial u}{\partial z}$): $\frac{\partial u}{\partial z} = 0 - \frac{1}{2\sqrt{xy + z^2}} \cdot (0 + 2z)$ $\frac{\partial u}{\partial z} = -\frac{z}{\sqrt{xy + z^2}}$

Теперь подставим $x = 1$, $y = 5$ и $z = -2$ в эти частные производные, чтобы найти градиент в точке $M(1, 5, -2)$:

Градиент $\nabla u$ в точке $M$: $\nabla u = \left(2xy - \frac{y}{2\sqrt{xy + z^2}}, x^2 - \frac{x}{2\sqrt{xy + z^2}}, -\frac{z}{\sqrt{xy + z^2}}\right)$