Question

Найти неопределенные интегралы.4x3+x2+2x(x-1)(x-2)​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$\int\limits( {4x^3+x^2+2} )\, dx =4*\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3} +2x=x^4+\frac{1}{3}x^3+2x+C\\\\\int\limits ({x(x-1)(x-2))} \, dx =\int\limits( {x^3-2x^2-x^2+2x}) \, dx = \int\limits( {x^3-3x^2+2x}) \, dx =\frac{x^4}{4}-3*\frac{x^3}{3}+2*\frac{x^2}{2}=\frac{1}{4}x^4-x^3+x^2+C$

Answer 2

Для нахождения неопределенных интегралов данной функции, давайте разберемся с каждым слагаемым по отдельности:

1. ∫(4x^3) dx = (4/4)x^4 + C₁ = x^4 + C₁

2. ∫(x^2) dx = (1/3)x^3 + C₂

3. Теперь рассмотрим слагаемое 2x(x-1)(x-2). Мы можем умножить эти множители и затем произвести интегрирование:

   ∫(2x(x-1)(x-2)) dx = 2∫(x^3 - 3x^2 + 2x) dx

   Теперь найдем интегралы каждого слагаемого по отдельности:

   ∫(x^3) dx = (1/4)x^4 + C₃ ∫(-3x^2) dx = (-3/3)x^3 + C₄ = -x^3 + C₄ ∫(2x) dx = (2/2)x^2 + C₅ = x^2 + C₅

   Теперь объединим все интегралы:

   2∫(x^3 - 3x^2 + 2x) dx = 2[(1/4)x^4 - x^3 + x^2] + C₆ = (1/2)x^4 - 2x^3 + 2x^2 + C₆

Теперь объединим все полученные интегралы вместе:

∫(4x^3 + x^2 + 2x(x-1)(x-2)) dx = x^4 + (1/3)x^3 + (1/2)x^4 - 2x^3 + 2x^2 + C₁ + C₂ + C₆

Теперь можно объединить константы интегрирования C₁, C₂ и C₆ в одну константу C:

∫(4x^3 + x^2 + 2x(x-1)(x-2)) dx = (1/2)x^4 - (3/2)x^3 + (5/2)x^2 + C

Итак, неопределенный интеграл данной функции равен:

∫(4x^3 + x^2 + 2x(x-1)(x-2)) dx = (1/2)x^4 - (3/2)x^3 + (5/2)x^2 + C