Question

Даю 100 баллов. Представления натуральных чисел. Суть задачи заключается в том, что нужно представить натуральное число всеми цифрами от 1 до 9 (в порядке возростания или в порядке уменьшения) при помощи операций умножения, сложения, деления, вычитания, а также степеней. Например, число 5 можно представить, как 12-34+5-67+89 в порядке возростания, а также как 98-76+5-43+21 в порядке уменьшения. Вот вам ещё несколько примеров: 2 = 123 + 4 - 56 - 78 + 9 | 9 + 87 - 65 + 4 - 32 - 1 10 = | 98 - 7 + 6 - 54 - 32 - 1 10957 = | (9 + 8 * 7 * 65 + 4) * 3 - 2 * 1 10959 = 12 + 3 + 456 * (7 + 8 + 9) | 9 + (8 * 76 * (5 + 4) + 3) * 2 * 1 Теперь ближе к задаче: представьте число 10958 в порядке возростания используя правила, описанные выше. Для справки, 10958 в порядке убывания представляется как (9+8*7*65+4)*3-2+1

Answer 1

Ответ:

Итак, для ограничения по целым степеням не более 27 по модулю, вычислимыми оказались результаты ~957 млн выводов и среди них 356 являются выводами числа 5479 и ни один вывод (а соответственно ни один вывод с операциями сложения, вычитания, конкатенации, умножения и деления, а также некоторые выводы с этими же операциями и некоторыми целыми степенями) не является выводом числа 10958. В чем его особенность?

Призраки и тени

Для задачи, аналогичной задаче Танежи в восходящем порядке, но с начальными векторами длины 8, такими как $(1, 2, ... , 8)$ и $(2, 3, ... , 9)$ количество вариантов меньше, а с иррациональными, комплексными и длинными целыми значениями элементов векторов (1) — (7) справляются оптимизированные алгоритмы Вольфрам Математики. Так, достоверно известно, что ни один вывод в $(1, 2, ... , 9)$, имеющий на 8-ой итерации оператор конкатенации, сложения или вычитания не может привести к значению 10958. Какие возможности для дальнейшего решения это даёт?

Число 10958 является полупростым. И если последняя итерация вывода не содержит сложение, вычитание и конкатенацию, то один из операндов на 8-ой итерации будет гарантировано включать 5479 в некоторой степени, за исключением двух случаев:

когда операнды кратны некоторым комплексно-сопряжённым

когда один из операндов содержит логарифм, основание или показатель которого кратны 5479

Answer 2

Для представления числа 10958 в порядке возрастания, используя операции умножения, сложения, деления, вычитания и степеней с цифрами от 1 до 9, можно сделать следующее:

10958 = (1 + 2) * 3 * 4 * (5 + 6 + 7) - 8 + 9

В данном примере мы разбили число 10958 на более мелкие операции с использованием цифр от 1 до 9 и выполнили их в порядке возрастания.