Question

Составить каноническое уравнение эллипса, при А (3;0), В (2;√5/3)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

уравнение эллипса

$\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} =1$

точки А (3;0) и  В (2;√5/3)  принадлежат эллипсу, значит подставим их поочередно в уравнение и получим систему для нахождения а² и b²

$\left \{ {{\frac{9}{a^2} +\frac{0}{b^2} =1} \atop {\frac{4}{a^2} +\frac{5/9}{b^2} =1}} \right.$

из первого получим а²

$\frac{9}{a^2} +\frac{0}{b^2} =1;$    ⇒  a² = 9

подставим это во второе и получим b²

$\frac{4}{9} +\frac{5/9}{b^2} =1;$   ⇒  b² = 1

и вот каноническое уравнение эллипса

$\frac{x^2}{9} +\frac{y^2}{1} =1$

Answer 2

Для составления канонического уравнения эллипса, зная его фокусы A (3;0) и B (2;√5/3), можно использовать следующую формулу:

(x - h)^2/a^2 + (y - k)^2/b^2 = 1,

где (h, k) - координаты центра эллипса, "a" - большая полуось, "b" - малая полуось.

1. Начнем с нахождения центра эллипса, который является средней точкой между фокусами A и B:

   h = (3 + 2) / 2 = 2.5, k = (0 + √5/3) / 2 ≈ 0.2887.

   Таким образом, центр эллипса (h, k) ≈ (2.5, 0.2887).

2. Теперь найдем значение "a", которое равно половине расстояния между фокусами:

   a = AB/2 = √[(3 - 2)^2 + (√5/3 - 0)^2]/2 ≈ √[(1)^2 + (√5/3)^2]/2 ≈ √[1 + 5/9]/2 ≈ √(14/9)/2 ≈ √(14)/6 ≈ √14/6.

3. Наконец, найдем значение "b". Зная, что c - расстояние от центра эллипса до фокуса (любого из них), можно использовать следующее соотношение:

   c = √(a^2 - b^2),

   где c - расстояние от центра до фокуса, а "a" и "b" известны.

   √(a^2 - b^2) = √14/6, a^2 - b^2 = 14/6, a^2 - b^2 = 7/3.

Теперь у нас есть все необходимые компоненты для канонического уравнения эллипса:

(x - 2.5)^2/(√14/6)^2 + (y - 0.2887)^2/b^2 = 1,

или

(x - 2.5)^2/(14/6) + (y - 0.2887)^2/b^2 = 1.

Это каноническое уравнение эллипса с центром в точке (2.5, 0.2887), большой полуосью √14/6 и малой полуосью "b".