Question

Продиференціювати неявно задану функцію: y * ln(x+y) = ln(a)

Answer 1

Ответ:

$y \times ln(x + y) = ln(a)$

$y' \times ln(x + y) + ( ln(x + y)) ' \times y = 0 \\ y' ln(x + y) + \frac{1}{x + y} \times (1 + y') = 0 \\ y' ln(x + y) + \frac{1}{x + y} + \frac{y'}{x + y} = 0 \\ y'( ln(x + y) + \frac{1}{x + y} ) = - \frac{1}{x + y} \\ y' \times \frac{(x + y) ln(x + y) + 1 }{x + y} = - \frac{1}{x + y} \\ y '= - \frac{1}{x + y} \times \frac{x + y}{(x + y) ln(x + y) + 1 } \\ y '= - \frac{1}{(x + y) ln(x + y) + 1}$

Answer 2

Щоб продиференціювати неявно задану функцію, вам потрібно взяти похідну від обох сторін рівняння залежно від змінних x та y та вирішити відносно похідних. Давайте розглянемо ваше рівняння:

y * ln(x+y) = ln(a)

1. Візьмемо похідну від лівої сторони рівняння за змінною x, використовуючи правило добутку (продукту) та правило логарифмів:

d/dx [y * ln(x+y)] = d/dx [ln(a)]

Застосовуючи правило добутку (продукту), ми отримаємо:

y * d/dx [ln(x+y)] + ln(x+y) * d/dx[y] = 0

Зараз нам потрібно знайти похідні d/dx[y] та d/dx[ln(x+y)].

2. Знайдемо d/dx[y]. Відомо, що y - це функція x. Тому d/dx[y] дорівнює похідній функції y відносно x, тобто dy/dx.

3. Знайдемо d/dx[ln(x+y)]. Для цього використаємо правило ланцюгового правила:

d/dx[ln(x+y)] = (1/(x+y)) * d/dx[x+y] = (1/(x+y)) * (1 + dy/dx)

Тепер підставимо ці вирази назад у наше рівняння:

y * [(1/(x+y)) * (1 + dy/dx)] + ln(x+y) * dy/dx = 0

4. Тепер спростимо рівняння та вирішимо відносно dy/dx:

y/(x+y) + ln(x+y) * dy/dx = -y * (1/(x+y)) * dy/dx + ln(x+y) * dy/dx = 0

Тепер згрупуємо дільники dy/dx разом:

[ln(x+y) - y/(x+y)] * dy/dx = 0

5. І, нарешті, вирішимо відносно dy/dx:

dy/dx = 0 / [ln(x+y) - y/(x+y)]

dy/dx = 0

Отже, похідна від неявно заданої функції y * ln(x+y) = ln(a) відносно x дорівнює нулю.