Question

ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ ДИФ. УРАВНЕНИЕ dy/dx +2y/x= x^3

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

ОР - общее решение

Answer 2

Давайте решим это дифференциальное уравнение методом разделения переменных. Уравнение имеет вид:

dy/dx + 2y/x = x^3

Для начала перепишем его в следующем виде:

dy/dx = x^3 - 2y/x

Теперь давайте разделим переменные, переместив члены с y на одну сторону уравнения и член с x на другую:

dy/(x^3 - 2y) = dx/x

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения.

∫(1/(x^3 - 2y)) dy = ∫(1/x) dx

Левую и правую части уравнения нужно проинтегрировать относительно переменных y и x соответственно.

Сначала проинтегрируем левую сторону. Для этого можно воспользоваться заменой переменных. Допустим, u = x^3 - 2y, тогда du = -2dy. Таким образом:

-0.5 ∫(1/u) du = ∫(1/x) dx

Теперь проинтегрируем обе стороны:

-0.5 ln|u| = ln|x| + C1, где C1 - произвольная константа

Теперь вернемся к переменным y и x:

-0.5 ln|x^3 - 2y| = ln|x| + C1

Можно избавиться от логарифмов, взяв экспоненту от обеих сторон:

|x^3 - 2y|^(-0.5) = e^(ln|x| + C1)

Теперь используем свойство экспоненты e^(a+b) = e^a * e^b:

|x^3 - 2y|^(-0.5) = e^(ln|x|) * e^(C1)

Обратите внимание, что e^(ln|x|) = |x|:

|x^3 - 2y|^(-0.5) = |x| * e^(C1)

Следующим шагом можно избавиться от абсолютных значений, возводя обе стороны уравнения в квадрат:

|x^3 - 2y| = |x|^2 * e^(2C1)

Теперь можно ввести новую константу C:

|x^3 - 2y| = C * |x|^2, где C = e^(2C1)

Теперь у нас есть общее решение уравнения. Оно выражено в неявной форме. Для получения частных решений и использования начальных условий требуется конкретизировать значение константы C.