Question

В равнобедренной трапеции угол между диагоналями равен 90°, средняя линия трапеции равна 8 см. Найдите площадьтрапеции.​

Answer 1

Ответ:

Проведем высоту КМ через точку О, точку пересечения диагоналей.

Треугольник ВОС прямоугольный и равнобедренный так как диагонали равнобедренной трапеции пересекаются под прямым углом, ОВ = ОС.

Высота ОК делим ВС пополам, угол ОВК в треугольнике ОВК равен 450, тогда треугольник ОВК прямоугольный и равносторонний, ОК = ВК = ВС / 2.

Аналогично, ОМ = АМ = АД / 2.

Тогда КМ = (ОК + ОМ) = (ВС + АД) / 2, что есть средняя линия трапеции.

Тогда площадь трапеции равна: Sавсд = КМ2 = 82 = 64 см2

Пошаговое объяснение:

Проведем высоту КМ через точку О, точку пересечения диагоналей.

Треугольник ВОС прямоугольный и равнобедренный так как диагонали равнобедренной трапеции пересекаются под прямым углом, ОВ = ОС.

Высота ОК делим ВС пополам, угол ОВК в треугольнике ОВК равен 450, тогда треугольник ОВК прямоугольный и равносторонний, ОК = ВК = ВС / 2.

Аналогично, ОМ = АМ = АД / 2.

Тогда КМ = (ОК + ОМ) = (ВС + АД) / 2, что есть средняя линия трапеции.

Тогда площадь трапеции равна: Sавсд = КМ2 = 82 = 64 см2

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим следующие величины:

Пусть $ABCD$ - равнобедренная трапеция, где $AB$ и $CD$ - основания трапеции, а $AD$ и $BC$ - боковые стороны.

Пусть $M$ - середина линии $AB$, а $N$ - середина линии $CD$.

Из условия задачи мы знаем, что угол между диагоналями $AC$ и $BD$ равен 90°, что означает, что трапеция - это прямоугольная трапеция.

Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника: $\triangle AMD$ и $\triangle CMB$. Оба эти треугольника подобны треугольнику $\triangle ABC$ (по признаку общей вершины и двух пар подобных углов).

Мы также знаем, что длина средней линии равна 8 см, что равно половине длины суммы оснований: $MN = 8$ см.

Теперь мы можем использовать подобие треугольников, чтобы найти длину $AD$ и $BC$. Пусть $AB = a$ и $CD = b$. Тогда:

$\frac{AD}{AB} = \frac{MN}{BC}$

$\frac{AD}{a} = \frac{8}{b}$

$AD = \frac{8a}{b}$

Также мы знаем, что $AD + BC = 2MN = 16$ см, так как $AD$ и $BC$ - это боковые стороны трапеции.

Теперь мы можем записать уравнение:

$\frac{8a}{b} + b = 16$

Теперь мы можем решить это уравнение относительно $b$:

$8a + b^2 = 16b$

$b^2 - 16b + 8a = 0$

Далее, мы можем использовать квадратное уравнение, чтобы найти значение $b$:

$b = \frac{-(-16) \pm \sqrt{(-16)^2 - 4(1)(8a)}}{2(1)}$

$b = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32a}}{2}$

$b = 8 \pm \sqrt{64 - 8a}$

Теперь у нас есть значение $b$, и мы можем найти значение $a$ с помощью уравнения:

$AD = \frac{8a}{b}$

$a = \frac{b \cdot AD}{8}$

Теперь мы можем найти площадь трапеции, используя формулу:

$S = \frac{1}{2}(AB + CD) \cdot h$

$S = \frac{1}{2}(a + b) \cdot AD$

$S = \frac{1}{2}\left(\left(8 + 8 \pm \sqrt{64 - 8a}\right)\cdot AD\right)$

Теперь, если мы знаем значения $a$ и $b$ (которые зависят от $AD$), мы можем найти площадь трапеции. Помните, что есть два решения для $b$, поэтому вы получите два значения площади для данной трапеции.