Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=x^3-12x на промежутке (-1,4)

Answer 1

Рассмотрим функцию: f(x) = x³ - 12x

D(f) = (-00; +00)

f(x) = 0 при x³ - 12x = 0

x(x² - 12) = 0

x1 = 0; x2,3 = ±√12 = ±2√3

f'(x) = 3x² - 12

f'(x) = 0 при 3х² - 12 = 0

х² = 4

х1,2 = ±2

f'(x): + - +

----------|----------|----------> x

-2 2

f(x) возрастает на (-00; -2)u(2; +00)

f(x) убывает на (-2; 2)

min = f(2)

max = f(-2)

Так как мы рассматриваем функцию на [-1; 4] и точка х=-2 не лежит в указанном промежутке, необходимо также найти значение функции в крайних точках этого промежутка для определения максимума.

Имеем:

f(-1) = (-1)³ - 12•(-1) = -1 + 12 = 11

f(2) = 2³ - 12•2 = 8 - 24 = - 16 (min)

f(4) = 4³ - 12•4 = 64 - 48 = 16 (max)

Ответ: на [-1; 4]: min f(x) = f(2) = -16

max f(x) = f(4) = 16

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции $f(x) = x^3 - 12x$ на промежутке (-1, 4) нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите критические точки функции, которые могут быть максимумами или минимумами, вычислив производную и приравняв ее к нулю.
2. Оцените значения функции в этих критических точках, а также на концах заданного промежутка (-1, 4).

Шаг 1: Найдем производную функции $f(x)$ и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки:

$f(x) = x^3 - 12x$

$f'(x) = 3x^2 - 12$

Теперь приравняем $f'(x)$ к нулю и решим уравнение:

$3x^2 - 12 = 0$

$3x^2 = 12$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

Критические точки: $x = -2$ и $x = 2$.

Шаг 2: Оценим значения функции $f(x)$ в критических точках и на концах интервала (-1, 4):

a) $f(-2)$:

$f(-2) = (-2)^3 - 12(-2) = -8 + 24 = 16$

b) $f(2)$:

$f(2) = 2^3 - 12(2) = 8 - 24 = -16$

c) $f(-1)$:

$f(-1) = (-1)^3 - 12(-1) = -1 + 12 = 11$

d) $f(4)$:

$f(4) = 4^3 - 12(4) = 64 - 48 = 16$

Теперь у нас есть значения функции $f(x)$ в критических точках и на концах интервала:

Наименьшее значение: -16 (достигается в точке $x = 2$).

Наибольшее значение: 16 (достигается в точках $x = -2$ и $x = 4$).