Question

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами 15 и 15√3. Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом arctg2√3 / 225. Найдите объем пирамиды

Answer 1

Ответ:

$v=\frac{1}{3} *\frac{1}{2} *15*15\sqrt{3}*\frac{1}{2} *\sqrt{15^{2} + (15\sqrt{3})^{2} } /(2\sqrt{3} / 225 )$

Пошаговое объяснение:

ДАНО:  ПИРАМИДА

ΔАВС- прямоугольный

АВ=15,   ВС=15√3

∠a =arctg(2√3)/225

НАЙТИ:   Vпирамиды

 

V= 1/3 Sосн*h

1) ΔABC  прямоугольный  AB, BC катеты,  Sосн=1/2*AB*BC  

2) Высота пирамиды "h", опущенная из вершины D, в точку "0",  причем  "0" является точкой центром описанной окружности  ΔАВС,  то есть, точкой пересечения срединных перпендикуляров, проведенных к сторонам ΔАВС.(в часном случае ΔАВС прямоугольный, и "О" лежит на гипотенузе АС )

Δ  ΔОЕВ - прямоугольный , с катетами "ОЕ"  "ОМ"  и дпины их  равны половине соответствующих катетов ΔАВС   OB²=OE²+OM²=1/4(AB²+BC²)

Из ΔDBO  Прямоугольный, известен катет и прилежащий угол,

∠a нам дан.  tg∠a= OE/OB       OE=OB/tg∠a

рабочая формула будет иметь вид

V=1/3 *1/2*AB*BC* h  $\frac{1}{3} *\frac{1}{2} (AB*BC)*\frac{1}{4}\sqrt{AB^{2}+BC^{2} } /tg\ a$  

$v=\frac{1}{3} *\frac{1}{2} *15*15\sqrt{3}*\frac{1}{2} *\sqrt{15^{2} + (15\sqrt{3})^{2} } /(2\sqrt{3} / 225 )$

как то так

калькулятор в помощь

Answer 2

Для нахождения объема пирамиды, имеющей прямоугольный треугольник в основании и угол наклона боковых рёбер, можно воспользоваться следующей формулой:

V = (1/3) * S_base * h,

где: V - объем пирамиды, S_base - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

Для начала найдем площадь основания S_base. Она равна половине произведения длин катетов прямоугольного треугольника:

S_base = (1/2) * 15 * 15√3 = (225√3) / 2.

Теперь нужно найти высоту пирамиды h. Для этого можно воспользоваться синусом угла наклона боковых рёбер:

sin(угол наклона) = h / L,

где: L - длина бокового ребра пирамиды.

Для нахождения длины бокового ребра L можно воспользоваться теоремой косинусов. Обозначим угол между катетом и боковым ребром пирамиды как α. Тогда:

cos(α) = (15 / L).

Из условия задачи, у нас есть:

tan(угол наклона) = 2√3 / 225.

Отсюда можно выразить sin(угол наклона):

sin(угол наклона) = 2√3 / 225cos(угол наклона).

Теперь подставим выражение для cos(угол наклона) из теоремы косинусов:

cos(α) = (15 / L),

L = 15 / cos(α).

Теперь подставим это в уравнение для sin(угол наклона):

sin(угол наклона) = 2√3 / 225cos(угол наклона).

sin(угол наклона) = 2√3 / 225(15 / L),

sin(угол наклона) = 2√3 / (225 * 15 / cos(α)).

sin(угол наклона) = 2√3cos(α).

Теперь можем выразить cos(α) через sin(угол наклона):

cos(α) = (2√3) / (225sin(угол наклона)).

Итак, у нас есть значение cos(α), которое можно подставить в уравнение для L:

L = 15 / ((2√3) / (225sin(угол наклона))),

L = (15 * 225sin(угол наклона)) / (2√3).

L = (3375sin(угол наклона)) / √3.

Теперь, когда у нас есть длина бокового ребра L и площадь основания S_base, мы можем найти высоту h:

sin(угол наклона) = h / L,

h = L * sin(угол наклона),

h = ((3375sin(угол наклона)) / √3) * (2√3 / 225),

h = ((3375 * 2√3sin(угол наклона)) / (√3 * 225)),

h = (6750sin(угол наклона)) / 225.

Теперь, когда у нас есть площадь основания S_base и высота h, можем найти объем пирамиды:

V = (1/3) * S_base * h,

V = (1/3) * ((225√3) / 2) * ((6750sin(угол наклона)) / 225),

V = (1/3) * (112.5√3) * (30sin(угол наклона)),

V = 3375√3sin(угол наклона).

Теперь у нас есть выражение для объема пирамиды в зависимости от угла наклона sin(угол наклона). Подставьте значение sin(угол наклона) из условия задачи (sin(угол наклона) = 2√3 / 225), и вы получите объем пирамиды.