Question

Найти условий экстремум z=√x+√y при уравнении x^2+y^2=8

Answer 1

$\left \{ {{z=\sqrt{x}+\sqrt{y}} \atop {x^2+y^2=8}} \right.$

Так как ограничение задано равенством, то условный экстремум будет принадлежать этой кривой.

Найдем его с помощью неопределенных множителей Лагранжа

$F(x,y)=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\lambda(x^2+y^2-8)\\\begin{cases}\dfrac{\partial F}{\partial x}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+2x\lambda_1=0\\\dfrac{\partial F}{\partial y}=\dfrac{1}{2\sqrt{y}}+2y\lambda_2=0\\\dfrac{\partial F}{\partial \lambda}=x^2+y^2-8=0\end{cases}$

Решим систему:

Предположим что λ₁=λ₂. Тогда:

$\lambda_1=-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}};\lambda_2=-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}\\-\dfrac{1}{2y\sqrt{y}}=-\dfrac{1}{2y\sqrt{y}}\Rightarrow x=y$

Подставим в третье уравнение системы

$x^2+x^2-8=0;x=\pm 2\Rightarrow y=\pm2$

Функция z определена только когда ∀x,y > 0, следовательно подходит только пара (2; 2). Найдем λ:

$\lambda = -\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}=-\dfrac{1}{2*2\sqrt{2}}=-\dfrac{1}{4\sqrt{2}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{8}$

Осталось только узнать максимум это или минимум для этого:

$\Delta=\begin{vmatrix}0&\varphi'_x&\varphi'_y\\\varphi'_x&F''_{xx}&F''_{xy}\\\varphi'_y&F''_{xy}&F''_{yy}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&2x&2y\\2x&\dfrac{1}{4x\sqrt{x}}+2\lambda&0\\2y&0&\dfrac{1}{4y\sqrt{y}}+2\lambda\end{vmatrix}=-8\lambda(x^2+y^2)-\dfrac{y^2}{x^{3/2}}-\dfrac{x^2}{y^{3/2}}=-8*\dfrac{-\sqrt{2}}{8}(2^2+2^2)-\dfrac{2^2}{2^{3/2}}-\dfrac{2^2}{2^{3/2}}=6\sqrt{2}>0\rightarrow \max$

Answer 2

Для нахождения условий экстремума функции $z = \sqrt{x} + \sqrt{y}$ при условии $x^2 + y^2 = 8$, мы можем воспользоваться методом множителей Лагранжа. Этот метод позволяет находить экстремумы функций при ограничениях в виде уравнений.

Сначала сформулируем функцию Лагранжа:

$L(x, y, \lambda) = \sqrt{x} + \sqrt{y} + \lambda(x^2 + y^2 - 8)$

где $\lambda$ - множитель Лагранжа.

Далее, найдем частные производные $L$ по переменным $x$, $y$ и $\lambda$:

$\frac{\partial L}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2\lambda x$ $\frac{\partial L}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{y}} + 2\lambda y$ $\frac{\partial L}{\partial \lambda} = x^2 + y^2 - 8$

Теперь найдем точки, в которых градиент $L$ равен нулю:

$\frac{\partial L}{\partial x} = 0 \Rightarrow \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2\lambda x = 0$ $\frac{\partial L}{\partial y} = 0 \Rightarrow \frac{1}{2\sqrt{y}} + 2\lambda y = 0$ $\frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 - 8 = 0$

Решая первые два уравнения относительно $x$ и $y$, получим:

$\frac{1}{2\sqrt{x}} = -2\lambda x$ $\frac{1}{2\sqrt{y}} = -2\lambda y$

Из этих уравнений можно выразить $\lambda$ через $x$ и $y$:

$\lambda = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\lambda = -\frac{1}{2\sqrt{y}}$

Теперь приравняем два выражения для $\lambda$:

$-\frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{1}{2\sqrt{y}}$

Из этого уравнения получим:

$\sqrt{x} = \sqrt{y}$