Question

Решите уравнение arccos² x+2arccosx-8=0

Answer 1

Ответ:

Ответ смотри во вложении

Answer 2

Давайте решим уравнение arccos²(x) + 2arccos(x) - 8 = 0. Для упрощения обозначим arccos(x) как y, тогда у нас будет следующее уравнение:

y² + 2y - 8 = 0.

Теперь давайте решим это уравнение как квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение для нахождения значения y:

D = b² - 4ac, где a = 1, b = 2 и c = -8.

D = 2² - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36.

Теперь найдем два значения y, используя формулу для решения квадратного уравнения:

y₁ = (-b + √D) / (2a) = (-2 + √36) / (2) = (-2 + 6) / 2 = 4 / 2 = 2.

y₂ = (-b - √D) / (2a) = (-2 - √36) / (2) = (-2 - 6) / 2 = -8 / 2 = -4.

Теперь у нас есть два значения y: y₁ = 2 и y₂ = -4. Но мы помним, что мы ранее обозначили y как arccos(x). Теперь давайте найдем соответствующие значения x, используя обратную функцию косинуса:

Для y₁ = 2: x₁ = cos(y₁) = cos(2).

Для y₂ = -4: x₂ = cos(y₂) = cos(-4).

Обратите внимание, что значения косинуса могут находиться в интервале [-1, 1], поэтому x₁ и x₂ могут быть ограничены этим интервалом. В этом случае уравнение может иметь только один корень:

x₁ = cos(2).

Таким образом, решение уравнения arccos²(x) + 2arccos(x) - 8 = 0 в интервале [-1, 1] состоит из одного значения:

x = cos(2).