Question

Обчисліть площу фігури , що обмежена лініями y = ( x - 4 )*2 та y= 16 -x*2 . У відповіді запишіть два знаки після коми

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle S = \int\limits^{x_2}_{x_1} {(y_1-y_2)} \, dx$

строим графики функций, оттуда определяем пределы интегрирования и какая функция есть у₁ а какая у₂

у нас х₁ = 0; х₂ = 4;  у₁ = 16-х₂;  у₂ = (х-4)₂

$\displaystyle S= \int\limits^4_0 {(16-x^2-(x-4)^2} )\, dx =\int\limits^4_0 {(-x^2+8x} )\, dx =-\frac{x^3}{3} \bigg \vert_0^4+\frac{8x^2}{2} \bigg \vert_0^4 =$

$\displaystyle = -\frac{64}{3} +64=\frac{128}{3}$

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої двома функціями, потрібно обчислити інтеграл від різниці цих функцій від одного значення x до іншого. Діапазон значень x, на якому ми будемо обчислювати площу, знаходимо шляхом розв'язання рівняння обох функцій, тобто:

$(x - 4)^2 = 16 - x^2.$

Розкриваємо ліву частину рівняння:

$x^2 - 8x + 16 = 16 - x^2.$

Підсумовуємо обидві сторони і прибираємо однакові терміни:

$2x^2 - 8x = 0.$

Ділимо обидві сторони на 2:

$x^2 - 4x = 0.$

Факторизуємо:

$x(x - 4) = 0.$

Знаходимо значення x:

1. $x = 0$
2. $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$

Отже, ми знайшли два значення x: 0 і 4. Ці значення визначають межі інтегрування для обчислення площі.

Тепер обчислимо площу фігури шляхом обчислення інтеграла:

$S = \int_0^4 ((x - 4)^2 - (16 - x^2)) dx.$

$S = \int_0^4 (x^2 - 8x + 16 - 16 + x^2) dx.$

$S = \int_0^4 (2x^2 - 8x) dx.$

Тепер обчислимо цей інтеграл:

$S = \left[\frac{2}{3}x^3 - 4x^2\right]_0^4.$

Підставляючи верхню і нижню межі інтегрування:

$S = \left(\frac{2}{3}(4)^3 - 4(4)^2\right) - \left(\frac{2}{3}(0)^3 - 4(0)^2\right).$

$S = \left(\frac{2}{3}(64) - 4(16)\right) - \left(0 - 0\right).$

$S = \left(\frac{128}{3} - 64\right) - 0.$

$S = \frac{128}{3} - 64.$

$S = \frac{128 - 192}{3}.$

$S = \frac{-64}{3}.$

Отже, площа фігури, обмеженої лініями $y = (x - 4)^2$ і $y = 16 - x^2$, дорівнює $-\frac{64}{3}$, або, округлено до двох знаків після коми, -21.33.