Question

8. Решите уравнение x^4 - 9х^2 + 20 = 0​

Answer 1

Ответ:

Решим уравнение методом замены переменой

t=x²

t²-9t+20=0

По Т.Виета

t1+t2=9

t1*t2=20

t=4

t=5

Подставим обратно

x²=4

x²=5

Уравнение имеет 4 решение

x1= -√5

x2= -2

x3= 2

x4= √5

Answer 2

Для решения уравнения $x^4 - 9x^2 + 20 = 0$, давайте введем замену. Обозначим $y = x^2$, тогда уравнение примет вид:

$y^2 - 9y + 20 = 0$.

Теперь мы имеем квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта или разложения на множители.

1. Решение через дискриминант:

Дискриминант квадратного уравнения $ay^2 + by + c = 0$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. В данном случае $a = 1$, $b = -9$, и $c = 20$.

$D = (-9)^2 - 4(1)(20) = 81 - 80 = 1$.

Дискриминант положителен, поэтому у нас есть два корня $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 1}{2} = 5$,

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 1}{2} = 4$.

2. Решение через разложение на множители:

Мы знаем, что сумма корней квадратного уравнения $ay^2 + by + c = 0$ равна $-\frac{b}{a}$, а произведение корней равно $\frac{c}{a}$.

Сумма корней уравнения $y^2 - 9y + 20 = 0$ равна $\frac{9}{1} = 9$, а произведение корней равно $\frac{20}{1} = 20$.

Теперь нам нужно найти два числа, которые в сумме дают 9 и в произведении дают 20. Эти числа - 4 и 5.

Теперь мы можем записать уравнение в виде множителей:

$(y - 4)(y - 5) = 0$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x^2$:

$(x^2 - 4)(x^2 - 5) = 0$.

Теперь решим каждый из двух множителей по отдельности:

1. $x^2 - 4 = 0$ имеет корни $x = \pm 2$.
2. $x^2 - 5 = 0$ имеет корни $x = \pm \sqrt{5}$.

Таким образом, у нас есть четыре корня для исходного уравнения:

$x = 2, x = -2, x = \sqrt{5}, x = -\sqrt{5}$.