Question

Найти общее решение дифференциального уравнения y'=4×y×sin6x

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y'=4×y×sin6x

dy/y=4×dx×sin6x

ln (|y|) = - 4/6*cos(6x) +C = - 2/3 * cos(6x) +C

Answer 2

Пошаговое объяснение:

Уравнение с разделяющими переменными:

$y'=4y*sin6x\\\frac{dy}{dx}=4y*sin6x\\\frac{dy}{4y}=sin(6x)dx\\\frac{1}{4}\int\frac{dy}{y}=\int sin(x)dx\\\frac{1}{4}ln|y|=\frac{-cos(x)}{6}+C\\|y|=e^{\frac{-4cos(x)}{6}}*e^{C}\ \ \ \ \ (e^C=const=C_1)\\y=C_1*e^{\frac{-2cos(x)}{3}}$

Answer 3

Чтобы найти общее решение дифференциального уравнения y' = 4xy*sin(6x), мы можем использовать метод разделения переменных. Давайте начнем.

Исходное уравнение: y' = 4xy*sin(6x)

Для разделения переменных давайте перенесем все, что содержит y, на одну сторону уравнения, а все, что содержит x, на другую сторону:

dy / (y*sin(6x)) = 4x dx

Теперь интегрируем обе стороны:

∫(1 / (y*sin(6x))) dy = ∫4x dx

Левую сторону мы можем проинтегрировать с помощью замены переменных. Пусть z = 6x, тогда dz = 6dx, и dx = dz/6. Мы также можем использовать интеграл для косинуса:

∫(1 / (ysin(6x))) dy = (1/6)∫(1 / (ysin(z))) dy

Теперь у нас есть:

(1/6)∫(1 / (y*sin(z))) dy = ∫4x dx

(1/6)∫(1 / (y*sin(z))) dy = (4/6)∫x dx

(1/6)∫(1 / (y*sin(z))) dy = (2/3)∫x dx

Теперь интегрируем обе стороны:

(1/6)ln|y| - (1/6)ln|sin(z)| = (2/3)(x^2/2) + C

Подставим обратно z = 6x:

(1/6)ln|y| - (1/6)ln|sin(6x)| = (1/3)x^2 + C

Теперь давайте избавимся от логарифмов:

ln|y| - ln|sin(6x)| = 2x^2 + 6C

Используем свойство логарифма ln(a) - ln(b) = ln(a/b):

ln(|y|/|sin(6x)|) = 2x^2 + 6C

Теперь возведем обе стороны в экспоненту:

|y|/|sin(6x)| = e^(2x^2 + 6C)

Следовательно, у нас есть:

|y| = |sin(6x)| * e^(2x^2 + 6C)

Теперь обратите внимание, что y может быть как положительным, так и отрицательным. У нас есть два случая:

1. y = sin(6x) * e^(2x^2 + 6C)
2. y = -sin(6x) * e^(2x^2 + 6C)

Оба этих уравнения представляют общее решение данного дифференциального уравнения.