Question

Даны неотрицательные целые числа a, b такие, что 108^a \cdot 288^b делится на 6^{440}. Найдите минимальное возможное значение a + b.

Answer 1

Відповідь:

2+2=4

Покрокове пояснення:бо 2×2=9

Answer 2

Для того чтобы выразить минимальное значение a + b, мы должны разложить числа 108 и 288 на их простые множители и определить, сколько множителей 2 и 3 они содержат.

Сначала разложим числа: 108 = 2^2 * 3^3 288 = 2^5 * 3^2

Теперь мы можем записать выражение 108^a * 288^b в виде: (2^2 * 3^3)^a * (2^5 * 3^2)^b

Чтобы найти минимальное значение a + b, мы должны найти минимальные значения a и b, которые обеспечивают, что произведение (2^2 * 3^3)^a * (2^5 * 3^2)^b делится на 6^440.

Давайте рассмотрим, какие множители содержатся в числителе: 2^(2a + 5b) * 3^(3a + 2b)

Чтобы число делилось на 6^440, нам нужно, чтобы в числителе было не менее 440 множителей 2 и 440 множителей 3.

Для множителей 2: 2a + 5b ≥ 440

Для множителей 3: 3a + 2b ≥ 440

Мы хотим найти минимальные значения a и b, удовлетворяющие этим условиям. Мы можем начать с минимальных значений a и b и увеличивать их, чтобы удовлетворить условиям.

Для начала, давайте посмотрим на условие для множителей 2: 2a + 5b ≥ 440

Минимальное значение a будет 0, и в этом случае нам нужно: 5b ≥ 440 b ≥ 88

Теперь рассмотрим условие для множителей 3: 3a + 2b ≥ 440

Минимальное значение b будет 88 (как мы только что установили), и в этом случае нам нужно: 3a + 2*88 ≥ 440 3a + 176 ≥ 440 3a ≥ 440 - 176 3a ≥ 264

Теперь мы можем разделить оба неравенства на 2 и 3 соответственно: b ≥ 88 a ≥ 88

Итак, минимальные значения a и b, которые удовлетворяют условиям, это a = 88 и b = 88. Теперь мы можем найти минимальное значение a + b: a + b = 88 + 88 = 176

Таким образом, минимальное возможное значение a + b равно 176.