Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА ДАЮ 30 БАЛЛОВ ОЧЕНЬ НУЖНО НЕ ВРУ !!!!!!!!!! Найдите НОД следующих чисел ( любым удобным способом): а) a=23·3·73·112·19 и b=22·35·112·193; б) x=34·57·135·23 и y=2·33·59·134·233; в) 675 и 825; г) 7920 и 594; д) 855 и 11400; е) 147 и 1470; ж) 324, 111 и 432; з) 320, 640 и 960

Answer 1

Ответ:

а)  a=23·3·73·112·19 и b=22·35·112·193

Разложим число а на простые множители = 3*19*23*73*112

Разложим число b на простые множители = 2*5*7*11*19*193*112

112 (так как является общим множителем для а и b)

б) x=34·57·135·23 и y=2·33·59·134·233

Разложим число x на простые множители =2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23

Разложим число y на простые множители = 2 ⋅ 3 ⋅ 11 ⋅ 59 ⋅ 2 ⋅ 67⋅ 233

НОД = 2 ⋅ 3 = 6

в) 675 и 825

675 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5

825 = 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 11

НОД (675, 825) = 3 ∙ 5 ∙ 5 = 75

г) 7920 и 594

7920 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11

594 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 11

НОД (7920, 594) = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 = 198

д) 855 = 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 19

11400 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 19

НОД (855, 11400) = 3 ∙ 5 ∙ 19 = 285

е) 147 и 1470

НОД (147, 1470) = 147

ж) 324 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3

    111 = 3 ⋅ 37

   432 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3

НОД (324, 111, 432) = 3

з) 320, 640 и 960

640 = 2 ⋅ 320

960 = 3 ⋅ 320

НОД (320, 640, 960) = 320

Answer 2

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел можно воспользоваться алгоритмом Евклида. Этот алгоритм заключается в последовательном делении большего числа на меньшее до тех пор, пока не получится остаток равный нулю. На каждом этапе деления большее число заменяется меньшим числом, а меньшее число заменяется остатком от деления. Когда остаток становится равным нулю, последнее ненулевое число будет НОДом.

а) НОД(a, b): a = 23 * 3 * 7^3 * 11^2 * 19 b = 2^2 * 3^5 * 11^2 * 19^3

Начнем вычисление НОД(a, b) с использованием алгоритма Евклида:

1. НОД(23 * 3 * 7^3 * 11^2 * 19, 2^2 * 3^5 * 11^2 * 19^3) = НОД(23 * 3 * 7^3 * 11^2 * 19, 2^2 * 3^5 * 11^2 * 19^2) (так как остаток при делении на 19 равен 19).

2. НОД(23 * 3 * 7^3 * 11^2 * 19, 2^2 * 3^5 * 11^2 * 19^2) = НОД(23 * 3 * 7^3 * 11^2 * 19, 2^2 * 3^4 * 11^2 * 19^2) (так как остаток при делении на 3 равен 3).

3. НОД(23 * 3 * 7^3 * 11^2 * 19, 2^2 * 3^4 * 11^2 * 19^2) = НОД(23 * 7^3 * 11^2 * 19, 2^2 * 3^4 * 11^2 * 19^2) (так как остаток при делении на 3 равен 3).

4. НОД(23 * 7^3 * 11^2 * 19, 2^2 * 3^4 * 11^2 * 19^2) = НОД(23 * 7^3 * 11^2 * 19, 2^2 * 3^3 * 11^2 * 19^2) (так как остаток при делении на 3 равен 3).

5. НОД(23 * 7^3 * 11^2 * 19, 2^2 * 3^3 * 11^2 * 19^2) = НОД(23 * 7^3 * 11^2 * 19, 2^2 * 3^3 * 11^2 * 19) (так как остаток при делении на 19 равен 0).

Теперь мы получили остаток равный 0, поэтому НОД(a, b) равен последнему ненулевому числу:

НОД(a, b) = 2^2 * 3^3 * 11^2 * 19 = 4 * 27 * 121 * 19 = 196542.

б) НОД(x, y): x = 3^4 * 5^7 * 13^5 * 23 y = 2 * 3^3 * 5 * 11 * 13^4 * 23^3

Начнем вычисление НОД(x, y) с использованием алгоритма Евклида:

1. НОД(3^4 * 5^7 * 13^5 * 23, 2 * 3^3 * 5 * 11 * 13^4 * 23^3) = НОД(3^4 * 5^7 * 13^5 * 23, 2 * 3^3 * 5 * 11 * 13^4 * 23^2) (так как остаток при делении на 23 равен 0).

Теперь мы получили остаток равный 0, поэтому НОД(x, y) равен последнему ненулевому числу:

НОД(x, y) = 2 * 3^3 * 5 * 11 * 13^4 = 6 * 5 * 11 * 28561 = 9411630.

в) НОД(675, 825): Используем алгоритм Евклида:

1. НОД(675, 825) = НОД(675, 825 - 675) = НОД(675, 150).

2. НОД(675, 150) = НОД(675 - 4 * 150, 150) = НОД(75, 150).

3. НОД(75, 150) = НОД(75, 150 - 2 * 75) = НОД(75, 0).

Теперь мы получили остаток равный 0, поэтому НОД(675, 825) равен последнему ненулевому числу:

НОД(675, 825) = 75.

г) НОД(7920, 594): Используем алгоритм Евклида:

1. НОД(7920, 594) = НОД(7920 - 13 * 594, 594) = НОД(7920 - 13 * 594, 594 - 13 * (594 / 13)) = НОД(7920 - 13 * 594, 0).

Теперь мы получили остаток равный 0, поэтому НОД(7920, 594) равен последнему ненулевому числу:

НОД(7920, 594) = 594.

д) НОД(855, 11400): Используем алгоритм Евклида:

1. НОД(855, 11400) = НОД(855, 11400 - 13 * 855) = НОД(855, 0).

Теперь мы получили остаток равный 0, поэтому НОД(855, 11400) равен последнему ненулевому числу:

НОД(855, 11400) = 855.

е) НОД(147, 1470): Используем алгоритм Евклида:

1. НОД(147, 1470) = НОД(147, 1470 - 10 * 147) = НОД(147, 0).

Теперь мы получили остаток равный 0, поэтому НОД(147, 1470) равен последнему ненулевому числу:

НОД(147, 1470) = 147.

ж) НОД(324, 111, 432): Для нахождения НОД трех чисел можно поочередно находить НОД первых двух чисел, а затем НОД результата с третьим числом.

1. НОД(324, 111) = 3 (наибольший общий делитель 324 и 111).

2. НОД(3, 432) = 3 (наибольший общий делитель 3 и 432).

Таким образом, НОД(324, 111, 432) = 3.

з) НОД(320, 640, 960): Для нахождения НОД трех чисел можно поочередно находить НОД первых двух чисел, а затем НОД результата с третьим числом.

1. НОД(320, 640) = 320 (наибольший общий делитель 320 и 640).

2. НОД(320, 960) = 320 (наибольший общий делитель 320 и 960).

Таким образом, НОД(320, 640, 960) = 320.